Formeln und Nachschlagewerk

Betrag einer Zahl

NMT

\[|a|=\begin{cases}a,&a\ge0\\-a,&a\lt 0\end{cases}\]

6–9 Kl.

Betrag eines Produkts

\[|ab|=|a||b|\]

7–9 Kl.

Betrag eines Quotienten

\[\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|}\]

Bedingung \(b\ne0\)

7–9 Kl.

Haupteigenschaft einer Proportion

\[\frac ab=\frac cd\Longleftrightarrow ad=bc\]

Bedingung \(b\ne0,\ d\ne0\)

6–8 Kl.

p Prozent einer Zahl

\[B=A\cdot\frac{p}{100}\]

5–9 Kl.

Wie viel Prozent B von A sind

\[p=\frac BA\cdot100\%\]

Bedingung \(A\ne0\)

5–9 Kl.

Änderung einer Zahl um p Prozent

\[A_{\uparrow}=A\left(1+\frac p{100}\right)\]

\[A_{\downarrow}=A\left(1-\frac p{100}\right)\]

6–9 Kl.

Direkte Proportionalität

\[y=kx\]

Bedingung \(k\ne0\)

6–9 Kl.

Umgekehrte Proportionalität

\[y=\frac{k}{x}\]

Bedingung \(k\ne0,\ x\ne0\)

6–9 Kl.

Nullte Potenz

NMT

\[a^0=1\]

Bedingung \(a\ne0\)

7–10 Kl.

Negativer ganzzahliger Exponent

NMT

\[a^{-n}=\frac1{a^n}\]

Bedingung \(a\ne0,\ n\in\mathbb N\)

8–10 Kl.

Produkt von Potenzen

NMT

\[a^m a^n=a^{m+n}\]

7–10 Kl.

Quotient von Potenzen

NMT

\[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\]

Bedingung \(a\ne0\)

7–10 Kl.

Potenz einer Potenz

NMT

\[(a^m)^n=a^{mn}\]

7–10 Kl.

Potenz eines Produkts

NMT

\[(ab)^n=a^n b^n\]

7–10 Kl.

Potenz eines Quotienten

NMT

\[\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\]

Bedingung \(b\ne0\)

7–10 Kl.

Rationaler Exponent

NMT

\[a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}\]

Bedingung \(a\gt 0,\ m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N,\ n\ge2\)

9–11 Kl.

Quadratwurzel aus einem Quadrat

NMT

\[\sqrt{a^2}=|a|\]

8–10 Kl.

Wurzel aus einem Produkt

\[\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\]

Bedingung \(a\ge0,\ b\ge0\)

8–10 Kl.

Wurzel aus einem Quotienten

\[\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\]

Bedingung \(a\ge0,\ b\gt 0\)

8–10 Kl.

Differenz zweier Quadrate

NMT

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

7–9 Kl.

Quadrat einer Summe

NMT

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

7–9 Kl.

Quadrat einer Differenz

NMT

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

7–9 Kl.

Kubus einer Summe

\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

7–9 Kl.

Kubus einer Differenz

\[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]

7–9 Kl.

Summe zweier Kuben

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]

7–9 Kl.

Differenz zweier Kuben

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

7–9 Kl.

Addition algebraischer Brüche

\[\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}\]

Bedingung \(b\ne0,\ d\ne0\)

8–9 Kl.

Multiplikation algebraischer Brüche

\[\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}\]

Bedingung \(b\ne0,\ d\ne0\)

8–9 Kl.

Division algebraischer Brüche

\[\frac ab:\frac cd=\frac{ad}{bc}\]

Bedingung \(b\ne0,\ c\ne0,\ d\ne0\)

8–9 Kl.

Lineare Gleichung

\[ax+b=0\Rightarrow x=-\frac ba\]

Bedingung \(a\ne0\)

7–9 Kl.

Gleichung mit Betrag

\[|f(x)|=a\Longleftrightarrow f(x)=\pm a\]

Bedingung \(a\ge0\)

8–11 Kl.

Grundform einer Wurzelgleichung

\[\sqrt{f(x)}=g(x)\Longleftrightarrow\begin{cases}f(x)=g^2(x)\\g(x)\ge0\end{cases}\]

9–11 Kl.

Exponentialgleichung mit gleicher Basis

\[a^{f(x)}=a^{g(x)}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 Kl.

Logarithmische Gleichung mit gleicher Basis

\[\log_a f(x)=\log_a g(x)\Longleftrightarrow\begin{cases}f(x)=g(x)\\f(x)\gt 0\\g(x)\gt 0\end{cases}\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 Kl.

Quadratische Gleichung

NMT

\[ax^2+bx+c=0\]

Bedingung \(a\ne0\)

8–11 Kl.

Diskriminante

NMT

\[D=b^2-4ac\]

8–11 Kl.

Lösungen für D>0

NMT

\[x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\]

\[x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\]

Bedingung \(D\gt 0\)

8–11 Kl.

Lösung für D=0

NMT

\[x_1=x_2=-\frac b{2a}\]

Bedingung \(D=0\)

8–11 Kl.

Faktorisierung eines quadratischen Trinoms

NMT

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]

8–11 Kl.

Satz von Vieta

\[x_1+x_2=-\frac ba\]

\[x_1x_2=\frac ca\]

Bedingung \(a\ne0\)

8–11 Kl.

Ungleichung |f(x)|<a

\[|f(x)|\lt a\Longleftrightarrow -a\lt f(x)\lt a\]

Bedingung \(a\gt 0\)

8–11 Kl.

Ungleichung |f(x)|>a

\[|f(x)|\gt a\Longleftrightarrow f(x)\lt -a\ \text{або}\ f(x)\gt a\]

Bedingung \(a\ge0\)

8–11 Kl.

n-tes Glied einer arithmetischen Folge

NMT

\[a_n=a_1+d(n-1)\]

9–11 Kl.

Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge

NMT

\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\,n\]

9–11 Kl.

Summe mit a₁ und d

\[S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2\,n\]

9–11 Kl.

Eigenschaft einer arithmetischen Folge

\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2\]

9–11 Kl.

n-tes Glied einer geometrischen Folge

NMT

\[b_n=b_1q^{\,n-1}\]

9–11 Kl.

Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge

NMT

\[S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\]

Bedingung \(q\ne1\)

9–11 Kl.

Summe einer unendlichen geometrischen Folge

\[S=\frac{b_1}{1-q}\]

Bedingung \(|q|\lt 1\)

9–11 Kl.

Eigenschaft einer geometrischen Folge

\[b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}\]

9–11 Kl.

x-Koordinate des Parabelscheitels

\[x_0=-\frac b{2a}\]

Bedingung \(a\ne0\)

8–11 Kl.

Scheitelpunktform der quadratischen Funktion

\[y=a(x-x_0)^2+y_0\]

Bedingung \(a\ne0\)

8–11 Kl.

Lineare Funktion

\[y=kx+b\]

7–11 Kl.

Quadratische Funktion

\[y=ax^2+bx+c\]

Bedingung \(a\ne0\)

8–11 Kl.

Potenzfunktion

\[y=x^\alpha\]

9–11 Kl.

Exponentialfunktion

\[y=a^x\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 Kl.

Logarithmusfunktion

\[y=\log_a x\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ x\gt 0\)

10–11 Kl.

Vertikale Verschiebung des Graphen

\[y=f(x)+b\]

8–11 Kl.

Horizontale Verschiebung des Graphen

\[y=f(x-a)\]

8–11 Kl.

Streckung/Stauchung entlang der x-Achse

\[y=f(kx)\]

Bedingung \(k\ne0\)

8–11 Kl.

Streckung/Stauchung entlang der y-Achse

\[y=kf(x)\]

Bedingung \(k\ne0\)

8–11 Kl.

Spiegelung an der x-Achse

\[y=-f(x)\]

8–11 Kl.

Spiegelung an der y-Achse

\[y=f(-x)\]

8–11 Kl.

Definition des Logarithmus

\[\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0\)

10–11 Kl.

Logarithmus von eins

NMT

\[\log_a1=0\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 Kl.

Logarithmus der Basis

NMT

\[\log_a a=1\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 Kl.

Grundlegende logarithmische Identität

NMT

\[a^{\log_a b}=b\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0\)

10–11 Kl.

Logarithmus eines Produkts

NMT

\[\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0,\ c\gt 0\)

10–11 Kl.

Logarithmus eines Quotienten

NMT

\[\log_a\frac bc=\log_ab-\log_ac\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0,\ c\gt 0\)

10–11 Kl.

Logarithmus einer Potenz

NMT

\[\log_a b^n=n\log_a b\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0\)

10–11 Kl.

Logarithmus einer Wurzel

NMT

\[\log_a\sqrt[k]{b}=\frac1k\log_a b\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0,\ k\ne0\)

10–11 Kl.

Basiswechsel

\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\]

Bedingung \(a,b,c\gt 0,\ a\ne1,\ c\ne1\)

10–11 Kl.

Grundlegende trigonometrische Identität

NMT

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

10–11 Kl.

Tangens

NMT

\[\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]

Bedingung \(\cos\alpha\ne0\)

10–11 Kl.

Kotangens

\[\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]

Bedingung \(\sin\alpha\ne0\)

10–11 Kl.

Identität für den Tangens

NMT

\[1+\tg^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}\]

Bedingung \(\cos\alpha\ne0\)

10–11 Kl.

Identität für den Kotangens

\[1+\ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\]

Bedingung \(\sin\alpha\ne0\)

10–11 Kl.

Sinus einer Summe

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]

10–11 Kl.

Sinus einer Differenz

\[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\]

10–11 Kl.

Kosinus einer Summe

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]

10–11 Kl.

Kosinus einer Differenz

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]

10–11 Kl.

Sinus des doppelten Winkels

NMT

\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]

10–11 Kl.

Kosinus des doppelten Winkels

NMT

\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]

\[\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\]

\[\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\]

10–11 Kl.

Tangens des doppelten Winkels

\[\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\]

10–11 Kl.

Quadrat des Sinus des halben Winkels

\[\sin^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}{2}\]

10–11 Kl.

Quadrat des Kosinus des halben Winkels

\[\cos^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}{2}\]

10–11 Kl.

Formeln für 90°+α

NMT

\[\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha\]

\[\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha\]

\[\tg(90^\circ+\alpha)=-\frac1{\tg\alpha}\]

10–11 Kl.

Formeln für 180°−α

NMT

\[\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\]

\[\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\]

\[\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha\]

10–11 Kl.

Gleichung sin x=a

\[x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z\]

Bedingung \(|a|\le1\)

10–11 Kl.

Gleichung cos x=a

\[x=\pm\arccos a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z\]

Bedingung \(|a|\le1\)

10–11 Kl.

Gleichung tg x=a

\[x=\arctg a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z\]

10–11 Kl.

Ableitung einer Konstanten

NMT

\[(C)'=0\]

10–11 Kl.

Ableitung von x

NMT

\[x'=1\]

10–11 Kl.

Ableitung einer Potenzfunktion

NMT

\[(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\]

10–11 Kl.

Ableitung der Quadratwurzel

NMT

\[(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}\]

10–11 Kl.

Ableitung von e^x

NMT

\[(e^x)'=e^x\]

10–11 Kl.

Ableitung von a^x

\[(a^x)'=a^x\ln a\]

10–11 Kl.

Ableitung von ln x

NMT

\[(\ln x)'=\frac1x\]

10–11 Kl.

Ableitung von log_a x

\[(\log_a x)'=\frac1{x\ln a}\]

10–11 Kl.

Ableitung von sin x

NMT

\[(\sin x)'=\cos x\]

10–11 Kl.

Ableitung von cos x

NMT

\[(\cos x)'=-\sin x\]

10–11 Kl.

Ableitung von tg x

NMT

\[(\tg x)'=\frac1{\cos^2x}\]

10–11 Kl.

Ableitung von ctg x

\[(\ctg x)'=-\frac1{\sin^2x}\]

10–11 Kl.

Ableitung einer Summe

NMT

\[(u+v)'=u'+v'\]

10–11 Kl.

Ableitung einer Differenz

NMT

\[(u-v)'=u'-v'\]

10–11 Kl.

Ableitung eines Produkts

NMT

\[(uv)'=u'v+uv'\]

10–11 Kl.

Ableitung eines Quotienten

NMT

\[\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]

Bedingung \(v\ne0\)

10–11 Kl.

Konstanter Faktor

NMT

\[(Cu)'=Cu'\]

10–11 Kl.

Ableitung einer verketteten Funktion

\[(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\]

10–11 Kl.

Gleichung der Tangente

\[y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\]

10–11 Kl.

Stammfunktion von 1

NMT

\[\int 1\,dx=x+C\]

11–11 Kl.

Stammfunktion einer Potenzfunktion

NMT

\[\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,\quad \alpha\ne-1\]

11–11 Kl.

Stammfunktion von 1/x

NMT

\[\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C\]

11–11 Kl.

Stammfunktion von e^x

NMT

\[\int e^x dx=e^x+C\]

11–11 Kl.

Stammfunktion von a^x

\[\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\]

11–11 Kl.

Stammfunktion von sin x

NMT

\[\int\sin x\,dx=-\cos x+C\]

11–11 Kl.

Stammfunktion von cos x

NMT

\[\int\cos x\,dx=\sin x+C\]

11–11 Kl.

Stammfunktion von 1/cos²x

NMT

\[\int\frac{dx}{\cos^2x}=\tg x+C\]

11–11 Kl.

Stammfunktion von 1/sin²x

\[\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\ctg x+C\]

11–11 Kl.

Newton-Leibniz-Formel

NMT

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\]

11–11 Kl.

Fläche unter einem Graphen

\[S=\int_a^b f(x)\,dx\]

Bedingung \(f(x)\ge0\ \text{auf}\ [a;b]\)

11–11 Kl.

Fläche zwischen Graphen

\[S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\]

11–11 Kl.

Fakultät

NMT

\[n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\]

11–11 Kl.

Permutationen

NMT

\[P_n=n!\]

11–11 Kl.

Variationen ohne Wiederholung

NMT

\[A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\]

11–11 Kl.

Kombinationen

NMT

\[C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

11–11 Kl.

Klassische Wahrscheinlichkeit

NMT

\[P(A)=\frac mn\]

m — Anzahl günstiger gleichwahrscheinlicher Ergebnisse; n — Gesamtzahl der Ergebnisse.

9–11 Kl.

Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

\[P(\overline A)=1-P(A)\]

9–11 Kl.

Summe der Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]

Bedingung \(A\cap B=\varnothing\)

10–11 Kl.

Produkt der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]

Bedingung \(A und B sind unabhängig\)

10–11 Kl.

Arithmetisches Mittel

\[\bar x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\]

6–11 Kl.

Mittelwert mit Häufigkeiten

\[\bar x=\frac{x_1n_1+\cdots+x_kn_k}{n_1+\cdots+n_k}\]

9–11 Kl.

Spannweite einer Stichprobe

\[R=x_{\max}-x_{\min}\]

9–11 Kl.