Nebenwinkel
\[\alpha+\beta=180^\circ\]
NMT / ZNO
Formeln und Nachschlagewerk
Mathematisches Kurz-Nachschlagewerk in zwei Stufen: NMT-Prüfungsblatt und vollständige ZNO-Formelsammlung.
ZNO — vollständiges Nachschlagewerk
·
Geometrie
·
88 Formeln
ZNO vollständig
Erweiterte Formelsammlung. Das Kennzeichen „NMT“ markiert Formeln aus dem kurzen Prüfungsblatt.
Winkel und Geraden
Winkel
Scheitelwinkel
\[\alpha=\beta\]
Dreieck
Dreieck
Winkelsumme im Dreieck
NMT\[\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\]
Halbumfang eines Dreiecks
NMT\[p=\frac{a+b+c}{2}\]
Dreiecksfläche mit Seite und Höhe
NMT\[S=\frac12ah_a\]
Dreiecksfläche mit zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel
NMT\[S=\frac12bc\sin\alpha\]
Heronsche Formel
NMT\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
Kosinussatz
NMT\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\]
Sinussatz
NMT\[\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=2R\]
Fläche mit Umkreisradius
\[S=\frac{abc}{4R}\]
Fläche mit Inkreisradius
\[S=pr\]
Umkreisradius
\[R=\frac{abc}{4S}\]
Inkreisradius
\[r=\frac Sp\]
Länge einer Seitenhalbierenden
\[m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\]
Länge einer Winkelhalbierenden
\[l_a=\frac{2bc\cos\frac\alpha2}{b+c}\]
Winkelhalbierendensatz
\[\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\]
Rechtwinkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Satz des Pythagoras
NMT\[a^2+b^2=c^2\]
Kosinus eines spitzen Winkels
NMT\[\cos\alpha=\frac bc\]
Sinus eines spitzen Winkels
NMT\[\sin\alpha=\frac ac\]
Tangens eines spitzen Winkels
NMT\[\tg\alpha=\frac ab\]
Höhe auf die Hypotenuse
\[h=\frac{ab}{c}\]
Höhe über die Kathetenprojektionen
\[h^2=pq\]
Kathete über ihre Projektion auf die Hypotenuse
\[a^2=cp\]
Zweite Kathete über ihre Projektion
\[b^2=cq\]
Umkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks
\[R=\frac c2\]
Besondere Dreiecke
Gleichseitiges Dreieck
Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
\[h=\frac{a\sqrt3}{2}\]
Fläche eines gleichseitigen Dreiecks
\[S=\frac{a^2\sqrt3}{4}\]
Umkreisradius eines gleichseitigen Dreiecks
\[R=\frac{a\sqrt3}{3}\]
Inkreisradius eines gleichseitigen Dreiecks
\[r=\frac{a\sqrt3}{6}\]
Vierecke
Parallelogramm
Fläche eines Parallelogramms
NMT\[S=ah_a\]
Parallelogrammfläche mit zwei Seiten und Winkel
NMT\[S=ab\sin\gamma\]
Summe der Quadrate der Parallelogrammdiagonalen
\[d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)\]
Vierecke
Rechteck
Fläche eines Rechtecks
NMT\[S=ab\]
Diagonale eines Rechtecks
\[d=\sqrt{a^2+b^2}\]
Vierecke
Raute
Rhombusfläche mit Diagonalen
NMT\[S=\frac12d_1d_2\]
Rhombusfläche mit Seite und Winkel
\[S=a^2\sin\alpha\]
Vierecke
Quadrat
Fläche eines Quadrats
\[S=a^2\]
Diagonale eines Quadrats
\[d=a\sqrt2\]
Vierecke
Trapez
Mittellinie eines Trapezes
\[m=\frac{a+b}{2}\]
Fläche eines Trapezes
NMT\[S=\frac{a+b}{2}\,h\]
Vielecke
Vielecke
Summe der Innenwinkel eines n-Ecks
\[\sum\alpha=(n-2)180^\circ\]
Vielecke
Regelmäßiges Vieleck
Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen n-Ecks
\[\varphi=\frac{360^\circ}{n}\]
Fläche eines regelmäßigen Vielecks
\[S=\frac12Pr\]
Kreis und Kreisfläche
Kreis
Kreisumfang
NMT\[L=2\pi R\]
Bogenlänge
\[l=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi R\]
Sehnenlänge
\[AB=2R\sin\frac{\alpha}{2}\]
Peripheriewinkel
\[\angle ACB=\frac12\overset{\frown}{AB}\]
Radius zum Berührpunkt
\[OT\perp t\]
Sehnensatz
\[PA\cdot PB=PC\cdot PD\]
Tangenten-Sekanten-Satz
\[PT^2=PA\cdot PB\]
Kreis und Kreisfläche
Kreisfläche
Kreisfläche
NMT\[S=\pi R^2\]
Fläche eines Kreissektors
\[S_{\rm сектора}=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi R^2\]
Koordinaten
Koordinaten
Koordinaten des Streckenmittelpunkts in der Ebene
\[x_0=\frac{x_1+x_2}{2}\]
\[y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\]
Abstand zweier Punkte in der Ebene
\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
Kreisgleichung
NMT\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\]
Geradengleichung
\[Ax+By+C=0\]
Bedingung
\(A^2+B^2\ne0\)
Koordinaten des Streckenmittelpunkts im Raum
NMT\[x_0=\frac{x_1+x_2}{2}\]
\[y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\]
\[z_0=\frac{z_1+z_2}{2}\]
Abstand zweier Punkte im Raum
NMT\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]
Vektoren
Vektoren
Koordinaten des Vektors AB
NMT\[\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1)\]
Länge eines Vektors
\[|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\]
Skalarprodukt in Koordinaten
NMT\[\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]
Skalarprodukt mit dem Winkel
NMT\[\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi\]
Senkrechte Vektoren
\[\vec a\perp\vec b\Longleftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0\]
Kollineare Vektoren in der Ebene
\[a_1b_2-a_2b_1=0\]
Transformationen und Ähnlichkeit
Transformationen
Zentrische Streckung: Längen
\[l'=|k|l\]
Zentrische Streckung: Flächen
\[S'=k^2S\]
Transformationen und Ähnlichkeit
Ähnlichkeit
Ähnliche Figuren: entsprechende Längen
\[\frac{a'}a=k\]
Ähnliche Figuren: Flächen
\[\frac{S'}S=k^2\]
Stereometrie
Prisma
Volumen eines geraden Prismas
NMT\[V=S_{\rm осн}H\]
Mantelfläche eines geraden Prismas
NMT\[S_{\rm біч}=P_{\rm осн}H\]
Oberfläche eines Prismas
\[S_{\rm повн}=S_{\rm біч}+2S_{\rm осн}\]
Stereometrie
Quader
Volumen eines Quaders
\[V=abc\]
Raumdiagonale eines Quaders
\[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\]
Stereometrie
Würfel
Volumen eines Würfels
\[V=a^3\]
Oberfläche eines Würfels
\[S_{\rm повн}=6a^2\]
Raumdiagonale eines Würfels
\[d=a\sqrt3\]
Stereometrie
Pyramide
Volumen einer Pyramide
NMT\[V=\frac13S_{\rm осн}H\]
Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide
NMT\[S_{\rm біч}=\frac12P_{\rm осн}m\]
m — Apothem.
Oberfläche einer Pyramide
\[S_{\rm повн}=S_{\rm біч}+S_{\rm осн}\]
Stereometrie
Zylinder
Volumen eines Zylinders
NMT\[V=\pi R^2H\]
Mantelfläche eines Zylinders
NMT\[S_{\rm біч}=2\pi RH\]
Oberfläche eines Zylinders
\[S_{\rm повн}=2\pi R(R+H)\]
Stereometrie
Kegel
Mantellinie eines geraden Kegels
\[L=\sqrt{R^2+H^2}\]
Volumen eines Kegels
NMT\[V=\frac13\pi R^2H\]
Mantelfläche eines Kegels
NMT\[S_{\rm біч}=\pi RL\]
Oberfläche eines Kegels
\[S_{\rm повн}=\pi R(R+L)\]
Stereometrie
Kugel
Volumen einer Kugel
NMT\[V=\frac43\pi R^3\]
Stereometrie
Kugeloberfläche
Oberfläche einer Kugel
NMT\[S=4\pi R^2\]
Keine Formeln gefunden.