Формули та довідник

Модуль числа

НМТ

\[|a|=\begin{cases}a,&a\ge0\\-a,&a\lt 0\end{cases}\]

6–9 кл.

Модуль добутку

\[|ab|=|a||b|\]

7–9 кл.

Модуль частки

\[\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|}\]

Умова \(b\ne0\)

7–9 кл.

Основна властивість пропорції

\[\frac ab=\frac cd\Longleftrightarrow ad=bc\]

Умова \(b\ne0,\ d\ne0\)

6–8 кл.

p відсотків від числа

\[B=A\cdot\frac{p}{100}\]

5–9 кл.

Скільки відсотків становить B від A

\[p=\frac BA\cdot100\%\]

Умова \(A\ne0\)

5–9 кл.

Зміна числа на p відсотків

\[A_{\uparrow}=A\left(1+\frac p{100}\right)\]

\[A_{\downarrow}=A\left(1-\frac p{100}\right)\]

6–9 кл.

Пряма пропорційність

\[y=kx\]

Умова \(k\ne0\)

6–9 кл.

Обернена пропорційність

\[y=\frac{k}{x}\]

Умова \(k\ne0,\ x\ne0\)

6–9 кл.

Нульовий степінь

НМТ

\[a^0=1\]

Умова \(a\ne0\)

7–10 кл.

Від’ємний цілий показник

НМТ

\[a^{-n}=\frac1{a^n}\]

Умова \(a\ne0,\ n\in\mathbb N\)

8–10 кл.

Добуток степенів

НМТ

\[a^m a^n=a^{m+n}\]

7–10 кл.

Частка степенів

НМТ

\[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\]

Умова \(a\ne0\)

7–10 кл.

Степінь степеня

НМТ

\[(a^m)^n=a^{mn}\]

7–10 кл.

Степінь добутку

НМТ

\[(ab)^n=a^n b^n\]

7–10 кл.

Степінь частки

НМТ

\[\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\]

Умова \(b\ne0\)

7–10 кл.

Раціональний показник

НМТ

\[a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}\]

Умова \(a\gt 0,\ m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N,\ n\ge2\)

9–11 кл.

Квадратний корінь із квадрата

НМТ

\[\sqrt{a^2}=|a|\]

8–10 кл.

Корінь із добутку

\[\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\]

Умова \(a\ge0,\ b\ge0\)

8–10 кл.

Корінь із частки

\[\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\]

Умова \(a\ge0,\ b\gt 0\)

8–10 кл.

Різниця квадратів

НМТ

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

7–9 кл.

Квадрат суми

НМТ

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

7–9 кл.

Квадрат різниці

НМТ

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

7–9 кл.

Куб суми

\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

7–9 кл.

Куб різниці

\[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]

7–9 кл.

Сума кубів

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]

7–9 кл.

Різниця кубів

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

7–9 кл.

Додавання алгебраїчних дробів

\[\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}\]

Умова \(b\ne0,\ d\ne0\)

8–9 кл.

Множення алгебраїчних дробів

\[\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}\]

Умова \(b\ne0,\ d\ne0\)

8–9 кл.

Ділення алгебраїчних дробів

\[\frac ab:\frac cd=\frac{ad}{bc}\]

Умова \(b\ne0,\ c\ne0,\ d\ne0\)

8–9 кл.

Лінійне рівняння

\[ax+b=0\Rightarrow x=-\frac ba\]

Умова \(a\ne0\)

7–9 кл.

Рівняння з модулем

\[|f(x)|=a\Longleftrightarrow f(x)=\pm a\]

Умова \(a\ge0\)

8–11 кл.

Ірраціональне рівняння базового виду

\[\sqrt{f(x)}=g(x)\Longleftrightarrow\begin{cases}f(x)=g^2(x)\\g(x)\ge0\end{cases}\]

9–11 кл.

Показникове рівняння однакових основ

\[a^{f(x)}=a^{g(x)}\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 кл.

Логарифмічне рівняння однакових основ

\[\log_a f(x)=\log_a g(x)\Longleftrightarrow\begin{cases}f(x)=g(x)\\f(x)\gt 0\\g(x)\gt 0\end{cases}\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 кл.

Квадратне рівняння

НМТ

\[ax^2+bx+c=0\]

Умова \(a\ne0\)

8–11 кл.

Дискримінант

НМТ

\[D=b^2-4ac\]

8–11 кл.

Корені при D>0

НМТ

\[x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\]

\[x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\]

Умова \(D\gt 0\)

8–11 кл.

Корінь при D=0

НМТ

\[x_1=x_2=-\frac b{2a}\]

Умова \(D=0\)

8–11 кл.

Розклад квадратного тричлена

НМТ

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]

8–11 кл.

Теорема Вієта

\[x_1+x_2=-\frac ba\]

\[x_1x_2=\frac ca\]

Умова \(a\ne0\)

8–11 кл.

Нерівність |f(x)|<a

\[|f(x)|\lt a\Longleftrightarrow -a\lt f(x)\lt a\]

Умова \(a\gt 0\)

8–11 кл.

Нерівність |f(x)|>a

\[|f(x)|\gt a\Longleftrightarrow f(x)\lt -a\ \text{або}\ f(x)\gt a\]

Умова \(a\ge0\)

8–11 кл.

n-й член арифметичної прогресії

НМТ

\[a_n=a_1+d(n-1)\]

9–11 кл.

Сума перших n членів арифметичної прогресії

НМТ

\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\,n\]

9–11 кл.

Сума через a₁ і d

\[S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2\,n\]

9–11 кл.

Властивість арифметичної прогресії

\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2\]

9–11 кл.

n-й член геометричної прогресії

НМТ

\[b_n=b_1q^{\,n-1}\]

9–11 кл.

Сума перших n членів геометричної прогресії

НМТ

\[S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\]

Умова \(q\ne1\)

9–11 кл.

Сума нескінченної геометричної прогресії

\[S=\frac{b_1}{1-q}\]

Умова \(|q|\lt 1\)

9–11 кл.

Властивість геометричної прогресії

\[b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}\]

9–11 кл.

Абсциса вершини параболи

\[x_0=-\frac b{2a}\]

Умова \(a\ne0\)

8–11 кл.

Канонічний вигляд квадратичної функції

\[y=a(x-x_0)^2+y_0\]

Умова \(a\ne0\)

8–11 кл.

Лінійна функція

\[y=kx+b\]

7–11 кл.

Квадратична функція

\[y=ax^2+bx+c\]

Умова \(a\ne0\)

8–11 кл.

Степенева функція

\[y=x^\alpha\]

9–11 кл.

Показникова функція

\[y=a^x\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 кл.

Логарифмічна функція

\[y=\log_a x\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1,\ x\gt 0\)

10–11 кл.

Вертикальне перенесення графіка

\[y=f(x)+b\]

8–11 кл.

Горизонтальне перенесення графіка

\[y=f(x-a)\]

8–11 кл.

Розтягнення/стискання вздовж Ox

\[y=f(kx)\]

Умова \(k\ne0\)

8–11 кл.

Розтягнення/стискання вздовж Oy

\[y=kf(x)\]

Умова \(k\ne0\)

8–11 кл.

Симетрія відносно Ox

\[y=-f(x)\]

8–11 кл.

Симетрія відносно Oy

\[y=f(-x)\]

8–11 кл.

Означення логарифма

\[\log_a b=c\Longleftrightarrow a^c=b\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0\)

10–11 кл.

Логарифм одиниці

НМТ

\[\log_a1=0\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 кл.

Логарифм основи

НМТ

\[\log_a a=1\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1\)

10–11 кл.

Основна логарифмічна тотожність

НМТ

\[a^{\log_a b}=b\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0\)

10–11 кл.

Логарифм добутку

НМТ

\[\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0,\ c\gt 0\)

10–11 кл.

Логарифм частки

НМТ

\[\log_a\frac bc=\log_ab-\log_ac\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0,\ c\gt 0\)

10–11 кл.

Логарифм степеня

НМТ

\[\log_a b^n=n\log_a b\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0\)

10–11 кл.

Логарифм кореня

НМТ

\[\log_a\sqrt[k]{b}=\frac1k\log_a b\]

Умова \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0,\ k\ne0\)

10–11 кл.

Перехід до нової основи

\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\]

Умова \(a,b,c\gt 0,\ a\ne1,\ c\ne1\)

10–11 кл.

Основна тригонометрична тотожність

НМТ

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

10–11 кл.

Тангенс

НМТ

\[\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]

Умова \(\cos\alpha\ne0\)

10–11 кл.

Котангенс

\[\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]

Умова \(\sin\alpha\ne0\)

10–11 кл.

Тотожність для тангенса

НМТ

\[1+\tg^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}\]

Умова \(\cos\alpha\ne0\)

10–11 кл.

Тотожність для котангенса

\[1+\ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\]

Умова \(\sin\alpha\ne0\)

10–11 кл.

Синус суми

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]

10–11 кл.

Синус різниці

\[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\]

10–11 кл.

Косинус суми

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]

10–11 кл.

Косинус різниці

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]

10–11 кл.

Синус подвійного кута

НМТ

\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]

10–11 кл.

Косинус подвійного кута

НМТ

\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]

\[\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\]

\[\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\]

10–11 кл.

Тангенс подвійного кута

\[\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\]

10–11 кл.

Квадрат синуса половинного кута

\[\sin^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}{2}\]

10–11 кл.

Квадрат косинуса половинного кута

\[\cos^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}{2}\]

10–11 кл.

Формули зведення для 90°+α

НМТ

\[\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha\]

\[\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha\]

\[\tg(90^\circ+\alpha)=-\frac1{\tg\alpha}\]

10–11 кл.

Формули зведення для 180°−α

НМТ

\[\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\]

\[\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\]

\[\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha\]

10–11 кл.

Рівняння sin x=a

\[x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z\]

Умова \(|a|\le1\)

10–11 кл.

Рівняння cos x=a

\[x=\pm\arccos a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z\]

Умова \(|a|\le1\)

10–11 кл.

Рівняння tg x=a

\[x=\arctg a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z\]

10–11 кл.

Похідна сталої

НМТ

\[(C)'=0\]

10–11 кл.

Похідна x

НМТ

\[x'=1\]

10–11 кл.

Похідна степеневої функції

НМТ

\[(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\]

10–11 кл.

Похідна квадратного кореня

НМТ

\[(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}\]

10–11 кл.

Похідна e^x

НМТ

\[(e^x)'=e^x\]

10–11 кл.

Похідна a^x

\[(a^x)'=a^x\ln a\]

10–11 кл.

Похідна ln x

НМТ

\[(\ln x)'=\frac1x\]

10–11 кл.

Похідна log_a x

\[(\log_a x)'=\frac1{x\ln a}\]

10–11 кл.

Похідна sin x

НМТ

\[(\sin x)'=\cos x\]

10–11 кл.

Похідна cos x

НМТ

\[(\cos x)'=-\sin x\]

10–11 кл.

Похідна tg x

НМТ

\[(\tg x)'=\frac1{\cos^2x}\]

10–11 кл.

Похідна ctg x

\[(\ctg x)'=-\frac1{\sin^2x}\]

10–11 кл.

Похідна суми

НМТ

\[(u+v)'=u'+v'\]

10–11 кл.

Похідна різниці

НМТ

\[(u-v)'=u'-v'\]

10–11 кл.

Похідна добутку

НМТ

\[(uv)'=u'v+uv'\]

10–11 кл.

Похідна частки

НМТ

\[\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]

Умова \(v\ne0\)

10–11 кл.

Сталий множник

НМТ

\[(Cu)'=Cu'\]

10–11 кл.

Похідна складеної функції

\[(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\]

10–11 кл.

Рівняння дотичної

\[y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\]

10–11 кл.

Первісна для 1

НМТ

\[\int 1\,dx=x+C\]

11–11 кл.

Первісна степеневої функції

НМТ

\[\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,\quad \alpha\ne-1\]

11–11 кл.

Первісна для 1/x

НМТ

\[\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C\]

11–11 кл.

Первісна для e^x

НМТ

\[\int e^x dx=e^x+C\]

11–11 кл.

Первісна для a^x

\[\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\]

11–11 кл.

Первісна для sin x

НМТ

\[\int\sin x\,dx=-\cos x+C\]

11–11 кл.

Первісна для cos x

НМТ

\[\int\cos x\,dx=\sin x+C\]

11–11 кл.

Первісна для 1/cos²x

НМТ

\[\int\frac{dx}{\cos^2x}=\tg x+C\]

11–11 кл.

Первісна для 1/sin²x

\[\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\ctg x+C\]

11–11 кл.

Формула Ньютона—Лейбніца

НМТ

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\]

11–11 кл.

Площа криволінійної трапеції

\[S=\int_a^b f(x)\,dx\]

Умова \(f(x)\ge0\ \text{на}\ [a;b]\)

11–11 кл.

Площа між графіками

\[S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\]

11–11 кл.

Факторіал

НМТ

\[n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\]

11–11 кл.

Перестановки

НМТ

\[P_n=n!\]

11–11 кл.

Розміщення

НМТ

\[A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\]

11–11 кл.

Комбінації

НМТ

\[C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

11–11 кл.

Класична ймовірність

НМТ

\[P(A)=\frac mn\]

m — кількість сприятливих рівноймовірних наслідків; n — кількість усіх.

9–11 кл.

Ймовірність протилежної події

\[P(\overline A)=1-P(A)\]

9–11 кл.

Сума ймовірностей несумісних подій

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]

Умова \(A\cap B=\varnothing\)

10–11 кл.

Добуток ймовірностей незалежних подій

\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]

Умова \(A і B незалежні\)

10–11 кл.

Середнє арифметичне

\[\bar x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\]

6–11 кл.

Середнє з частотами

\[\bar x=\frac{x_1n_1+\cdots+x_kn_k}{n_1+\cdots+n_k}\]

9–11 кл.

Розмах вибірки

\[R=x_{\max}-x_{\min}\]

9–11 кл.