Формули та довідник

Суміжні кути

\[\alpha+\beta=180^\circ\]

7–9 кл.

Вертикальні кути

\[\alpha=\beta\]

7–9 кл.

Сума кутів трикутника

НМТ

\[\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\]

7–9 кл.

Півпериметр трикутника

НМТ

\[p=\frac{a+b+c}{2}\]

7–11 кл.

Площа трикутника через сторону і висоту

НМТ

\[S=\frac12ah_a\]

7–11 кл.

Площа трикутника через дві сторони і кут

НМТ

\[S=\frac12bc\sin\alpha\]

9–11 кл.

Формула Герона

НМТ

\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

9–11 кл.

Теорема косинусів

НМТ

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\]

9–11 кл.

Теорема синусів

НМТ

\[\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=2R\]

9–11 кл.

Площа через радіус описаного кола

\[S=\frac{abc}{4R}\]

9–11 кл.

Площа через радіус вписаного кола

\[S=pr\]

8–11 кл.

Радіус описаного кола

\[R=\frac{abc}{4S}\]

9–11 кл.

Радіус вписаного кола

\[r=\frac Sp\]

8–11 кл.

Довжина медіани

\[m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\]

9–11 кл.

Довжина бісектриси

\[l_a=\frac{2bc\cos\frac\alpha2}{b+c}\]

9–11 кл.

Властивість бісектриси трикутника

\[\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\]

8–11 кл.

Теорема Піфагора

НМТ

\[a^2+b^2=c^2\]

8–11 кл.

Косинус гострого кута

НМТ

\[\cos\alpha=\frac bc\]

8–11 кл.

Синус гострого кута

НМТ

\[\sin\alpha=\frac ac\]

8–11 кл.

Тангенс гострого кута

НМТ

\[\tg\alpha=\frac ab\]

8–11 кл.

Висота до гіпотенузи

\[h=\frac{ab}{c}\]

8–11 кл.

Висота через проєкції катетів

\[h^2=pq\]

8–11 кл.

Катет через проєкцію на гіпотенузу

\[a^2=cp\]

8–11 кл.

Другий катет через проєкцію

\[b^2=cq\]

8–11 кл.

Радіус описаного кола прямокутного трикутника

\[R=\frac c2\]

8–11 кл.

Висота рівностороннього трикутника

\[h=\frac{a\sqrt3}{2}\]

8–11 кл.

Площа рівностороннього трикутника

\[S=\frac{a^2\sqrt3}{4}\]

8–11 кл.

Радіус описаного кола рівностороннього трикутника

\[R=\frac{a\sqrt3}{3}\]

8–11 кл.

Радіус вписаного кола рівностороннього трикутника

\[r=\frac{a\sqrt3}{6}\]

8–11 кл.

Площа паралелограма

НМТ

\[S=ah_a\]

8–11 кл.

Площа паралелограма через дві сторони і кут

НМТ

\[S=ab\sin\gamma\]

9–11 кл.

Сума квадратів діагоналей паралелограма

\[d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)\]

8–11 кл.

Площа прямокутника

НМТ

\[S=ab\]

5–11 кл.

Діагональ прямокутника

\[d=\sqrt{a^2+b^2}\]

8–11 кл.

Площа ромба через діагоналі

НМТ

\[S=\frac12d_1d_2\]

8–11 кл.

Площа ромба через сторону і кут

\[S=a^2\sin\alpha\]

9–11 кл.

Площа квадрата

\[S=a^2\]

5–11 кл.

Діагональ квадрата

\[d=a\sqrt2\]

8–11 кл.

Середня лінія трапеції

\[m=\frac{a+b}{2}\]

8–11 кл.

Площа трапеції

НМТ

\[S=\frac{a+b}{2}\,h\]

8–11 кл.

Сума внутрішніх кутів n-кутника

\[\sum\alpha=(n-2)180^\circ\]

8–11 кл.

Центральний кут правильного n-кутника

\[\varphi=\frac{360^\circ}{n}\]

8–11 кл.

Площа правильного многокутника

\[S=\frac12Pr\]

8–11 кл.

Довжина кола

НМТ

\[L=2\pi R\]

7–11 кл.

Довжина дуги

\[l=\frac{\alpha}{360^\circ}\,2\pi R\]

8–11 кл.

Довжина хорди

\[AB=2R\sin\frac{\alpha}{2}\]

9–11 кл.

Вписаний кут

\[\angle ACB=\frac12\overset{\frown}{AB}\]

8–11 кл.

Радіус до точки дотику

\[OT\perp t\]

7–11 кл.

Теорема про перетин хорд

\[PA\cdot PB=PC\cdot PD\]

8–11 кл.

Теорема про дотичну і січну

\[PT^2=PA\cdot PB\]

8–11 кл.

Площа круга

НМТ

\[S=\pi R^2\]

7–11 кл.

Площа сектора

\[S_{\rm сектора}=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi R^2\]

8–11 кл.

Координати середини відрізка на площині

\[x_0=\frac{x_1+x_2}{2}\]

\[y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\]

9–11 кл.

Відстань між двома точками на площині

\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

9–11 кл.

Рівняння кола

НМТ

\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\]

9–11 кл.

Рівняння прямої

\[Ax+By+C=0\]

Умова \(A^2+B^2\ne0\)

9–11 кл.

Координати середини відрізка у просторі

НМТ

\[x_0=\frac{x_1+x_2}{2}\]

\[y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\]

\[z_0=\frac{z_1+z_2}{2}\]

10–11 кл.

Відстань між двома точками у просторі

НМТ

\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

10–11 кл.

Координати вектора AB

НМТ

\[\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1)\]

10–11 кл.

Довжина вектора

\[|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\]

10–11 кл.

Скалярний добуток у координатах

НМТ

\[\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]

9–11 кл.

Скалярний добуток через кут

НМТ

\[\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi\]

9–11 кл.

Перпендикулярність векторів

\[\vec a\perp\vec b\Longleftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0\]

9–11 кл.

Колінеарність векторів на площині

\[a_1b_2-a_2b_1=0\]

9–11 кл.

Гомотетія: довжини

\[l'=|k|l\]

9–11 кл.

Гомотетія: площі

\[S'=k^2S\]

9–11 кл.

Подібні фігури: відповідні довжини

\[\frac{a'}a=k\]

8–11 кл.

Подібні фігури: площі

\[\frac{S'}S=k^2\]

8–11 кл.

Об’єм прямої призми

НМТ

\[V=S_{\rm осн}H\]

10–11 кл.

Бічна поверхня прямої призми

НМТ

\[S_{\rm біч}=P_{\rm осн}H\]

10–11 кл.

Повна поверхня призми

\[S_{\rm повн}=S_{\rm біч}+2S_{\rm осн}\]

10–11 кл.

Об’єм прямокутного паралелепіпеда

\[V=abc\]

10–11 кл.

Діагональ прямокутного паралелепіпеда

\[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\]

10–11 кл.

Об’єм куба

\[V=a^3\]

10–11 кл.

Площа поверхні куба

\[S_{\rm повн}=6a^2\]

10–11 кл.

Діагональ куба

\[d=a\sqrt3\]

10–11 кл.

Об’єм піраміди

НМТ

\[V=\frac13S_{\rm осн}H\]

11–11 кл.

Бічна поверхня правильної піраміди

НМТ

\[S_{\rm біч}=\frac12P_{\rm осн}m\]

m — апофема.

11–11 кл.

Повна поверхня піраміди

\[S_{\rm повн}=S_{\rm біч}+S_{\rm осн}\]

11–11 кл.

Об’єм циліндра

НМТ

\[V=\pi R^2H\]

11–11 кл.

Бічна поверхня циліндра

НМТ

\[S_{\rm біч}=2\pi RH\]

11–11 кл.

Повна поверхня циліндра

\[S_{\rm повн}=2\pi R(R+H)\]

11–11 кл.

Твірна прямого конуса

\[L=\sqrt{R^2+H^2}\]

11–11 кл.

Об’єм конуса

НМТ

\[V=\frac13\pi R^2H\]

11–11 кл.

Бічна поверхня конуса

НМТ

\[S_{\rm біч}=\pi RL\]

11–11 кл.

Повна поверхня конуса

\[S_{\rm повн}=\pi R(R+L)\]

11–11 кл.

Об’єм кулі

НМТ

\[V=\frac43\pi R^3\]

11–11 кл.

Площа сфери

НМТ

\[S=4\pi R^2\]

11–11 кл.