Thema 15 — Aufgaben

1

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(6^x\lt\dfrac1{36}\).

А \((-2;+\infty)\) Б \((-\infty;\dfrac16)\) В \((-\infty;-2)\) Г \((\dfrac16;+\infty)\) Д \((-\infty;\dfrac12)\)

Lösung

\(\dfrac1{36}=6^{-2}\). Da \(6\gt1\), ist \(6^x\) streng wachsend. Daher ist \(6^x\lt6^{-2}\) äquivalent zu \(x\lt-2\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

2

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(2\cdot(0{,}3)^x\lt0{,}18\).

А \((-\infty;2)\) Б \((2;+\infty)\) В \((-\infty;0{,}3)\) Г \((0{,}3;+\infty)\) Д \((0;2)\)

Lösung

Nach Division durch \(2\): \((0{,}3)^x\lt0{,}09=(0{,}3)^2\). Da \(0{,}3\lt1\), ist die Funktion fallend, also \(x\gt2\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

3

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(3\cdot9^x-2\cdot15^x-5^{2x+1}\gt0\). Gibt es ganzzahlige Lösungen, geben Sie die größte davon an. Falls es Lösungen gibt, aber keine größte ganzzahlige Lösung angegeben werden kann, geben Sie \(50\) ein. Gibt es keine Lösung, geben Sie \(100\) ein.

Ihre Antwort

Lösung

Teilen wir durch \(25^x\gt0\): \(3\left(\dfrac35\right)^{2x}-2\left(\dfrac35\right)^x-5\gt0\). Mit \(t=\left(\dfrac35\right)^x\gt0\) erhalten wir \(3t^2-2t-5\gt0\), also \(t\gt\dfrac53\). Da \(\dfrac53=\left(\dfrac35\right)^{-1}\) und die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt \(x\lt-1\). Die größte ganzzahlige Lösung ist \(-2\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

4

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie das Ungleichungssystem \(\begin{cases}(0{,}5)^{1-2x}\gt(0{,}5)^{8+x},\\\dfrac4{x-5}\lt0.\end{cases}\) Geben Sie die Anzahl aller ganzzahligen Lösungen an. Falls es unendlich viele gibt, geben Sie \(100\) ein.

Ihre Antwort

Lösung

Da \(0{,}5\lt1\), ist die erste Ungleichung äquivalent zu \(1-2x\lt8+x\), also \(x\gt-\dfrac73\). Die zweite ergibt \(x\lt5\). Somit \(-\dfrac73\lt x\lt5\). Es gibt \(7\) ganzzahlige Lösungen.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

5

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\left(\dfrac15\right)^x\le\dfrac1{25}\).

А \((-\infty;5]\) Б \((-\infty;2]\) В \((0;2]\) Г \([2;+\infty)\) Д \([5;+\infty)\)

Lösung

\(\dfrac1{25}=\left(\dfrac15\right)^2\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt \(x\ge2\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

6

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\left(\dfrac\pi4\right)^x\lt\left(\dfrac4\pi\right)^3\).

А \((-3;+\infty)\) Б \((3;+\infty)\) В \((-\infty;3)\) Г \((-\infty;-3)\) Д \((-\infty;\dfrac13]\)

Lösung

\(\left(\dfrac4\pi\right)^3=\left(\dfrac\pi4\right)^{-3}\). Da \(0\lt\dfrac\pi4\lt1\), folgt \(x\gt-3\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

7

Aufgabe Eine richtige Antwort

Bestimmen Sie mithilfe der dargestellten Funktionsgraphen die Lösung der Ungleichung \(2^x\gt-x+3\).

А \((-\infty;2)\) Б \((1;+\infty)\) В \((0;1)\) Г \((-\infty;1)\) Д \((2;+\infty)\)

Lösung

Die Graphen \(y=2^x\) und \(y=-x+3\) schneiden sich bei \(x=1\). Rechts davon liegt \(y=2^x\) oberhalb der Geraden. Daher \(x\gt1\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

8

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\left(\dfrac13\right)^x\gt1\).

А \((-\infty;0)\) Б \((-\infty;1)\) В \((0;+\infty)\) Г \((1;+\infty)\) Д \((3;+\infty)\)

Lösung

\(1=\left(\dfrac13\right)^0\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt \(x\lt0\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

9

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\left(\dfrac37\right)^{x-5}\gt\dfrac37\).

А \((-\infty;5)\) Б \((-\infty;6)\) В \((0;5)\) Г \((5;+\infty)\) Д \((6;+\infty)\)

Lösung

\(\dfrac37=\left(\dfrac37\right)^1\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, gilt \(x-5\lt1\), also \(x\lt6\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

10

Aufgabe Eine richtige Antwort

Welche der angegebenen Zahlen erfüllt die Doppelungleichung \(5\le3^x\le15\)?

А \(5\) Б \(4\) В \(3\) Г \(2\) Д \(1\)

Lösung

Für \(x=2\) gilt \(3^2=9\) und \(5\le9\le15\). Daher ist \(2\) eine Lösung. Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

11

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(2^{4x-5}\ge2\).

А \([1{,}5;+\infty)\) Б \([1{,}25;+\infty)\) В \([-1;+\infty)\) Г \((-\infty;-1]\) Д \([\dfrac23;+\infty)\)

Lösung

\(2=2^1\). Da die Basis \(2\gt1\) ist, folgt \(4x-5\ge1\). Somit \(x\ge\dfrac32=1{,}5\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

12

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{10^x-16\cdot5^x}{x+2}\ge0\). Geben Sie die Summe aller ganzzahligen Lösungen im Intervall \([-3;7]\) an.

Ihre Antwort

Lösung

Wir klammern \(5^x\gt0\) aus. Das Vorzeichen wird daher durch \(\dfrac{2^x-16}{x+2}\) bestimmt. Kritische Punkte sind \(x=-2\) und \(x=4\). Die Intervallmethode ergibt \((-\infty;-2)\cup[4;+\infty)\). Im Intervall \([-3;7]\) sind die ganzzahligen Lösungen \(-3,4,5,6,7\); ihre Summe ist \(19\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

13

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\left(\dfrac12\right)^{x^2-x}\gt8^{x-5}\). Geben Sie die Summe aller ganzzahligen Lösungen an. Falls es unendlich viele ganzzahlige Lösungen gibt, geben Sie \(100\) ein.

Ihre Antwort

Lösung

Wir schreiben beide Seiten zur Basis \(2\): \(2^{-x^2+x}\gt2^{3x-15}\). Daher \(-x^2+x\gt3x-15\), also \((x+5)(x-3)\lt0\). Somit \(-5\lt x\lt3\). Die ganzzahligen Lösungen summieren sich zu \(-7\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

14

Aufgabe Zuordnung

Lösen Sie die Ungleichungen (1–4). Ordnen Sie jeder Ungleichung die passende Lösungsmenge (A–E) zu.

А \((-\infty;2)\) Б \((-2;2)\) В \((0;2)\) Г \((-\infty;-2)\) Д \((2;+\infty)\)

1. \(5^{x-2}\gt1\) 2. \(-\dfrac2{x+2}\gt0\) 3. \(\log_2 x\lt1\) 4. \(x^2\lt4\)

Lösung

1) \(5^{x-2}\gt1\Rightarrow x\gt2\) — E. 2) \(-2/(x+2)\gt0\Rightarrow x\lt-2\) — D. 3) \(\log_2x\lt1\Rightarrow0\lt x\lt2\) — C. 4) \(x^2\lt4\Rightarrow-2\lt x\lt2\) — B. Somit: **1–E, 2–D, 3–C, 4–B**.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

15

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(2^x\le3\).

А \((-\infty;\log_2 3]\) Б \((0;\log_2 3]\) В \((-\infty;\dfrac32]\) Г \((-\infty;\log_3 2]\) Д \([\log_2 3;+\infty)\)

Lösung

Da \(2^x\) streng wächst, ist \(2^x\le3\) äquivalent zu \(x\le\log_2 3\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

16

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(3^x\lt27\cdot3^{-x}\).

А \((-\infty;\dfrac23)\) Б \((\dfrac32;+\infty)\) В \((-\infty;3)\) Г \((\dfrac23;+\infty)\) Д \((-\infty;\dfrac32)\)

Lösung

\(27\cdot3^{-x}=3^{3-x}\). Da die Basis größer als \(1\) ist, folgt \(x\lt3-x\), also \(x\lt\dfrac32\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

17

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(10^{x+1}\gt0{,}01\).

А \((-\infty;-3)\) Б \((-\infty;-2)\) В \((-3;+\infty)\) Г \((-2;+\infty)\) Д \((1;+\infty)\)

Lösung

\(0{,}01=10^{-2}\). Da \(10^x\) wächst, gilt \(x+1\gt-2\), also \(x\gt-3\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

18

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(4\cdot3^x\lt3^x+6\).

А \((-\infty;\log_9 6)\) Б \((-\infty;\log_2 3)\) В \((-\infty;2)\) Г \((-\infty;1)\) Д \((-\infty;\log_3 2)\)

Lösung

\(4\cdot3^x\lt3^x+6\Rightarrow3\cdot3^x\lt6\Rightarrow3^x\lt2\). Daher \(x\lt\log_3 2\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

19

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(0{,}5^{2x+7}\le4\).

А \((-\infty;-4{,}5]\) Б \([-2{,}5;+\infty)\) В \([-4{,}5;+\infty)\) Г \((-\infty;-2{,}5]\) Д \([2{,}5;+\infty)\)

Lösung

\(4=(0{,}5)^{-2}\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt \(2x+7\ge-2\), also \(x\ge-4{,}5\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

20

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(5^{8x+1}+5^{8x-1}\lt130\).

А \((-\infty;-0{,}25)\) Б \((-\infty;0{,}25)\) В \((-0{,}25;+\infty)\) Г \((0{,}25;+\infty)\) Д \((-\infty;4)\)

Lösung

Wir klammern \(5^{8x-1}\) aus: \(26\cdot5^{8x-1}\lt130\), also \(5^{8x-1}\lt5\). Daher \(8x-1\lt1\), somit \(x\lt\dfrac14=0{,}25\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

21

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(4^{\frac{x+1}{x}}-17\cdot2^{\frac1x}+4\gt0\).

А \((0;\dfrac12)\) Б \((-\dfrac12;0)\) В \((-\dfrac12;\dfrac12)\) Г \((-\dfrac12;0)\cup(0;\dfrac12)\) Д \((\dfrac12;+\infty)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\ne0\). Setzen wir \(a=2^{1/x}\gt0\). Dann wird die Ungleichung zu \(4a^2-17a+4\gt0\). Die Nullstellen sind \(\frac14\) und \(4\), also \(a\lt\frac14\) oder \(a\gt4\). Daraus folgt \(x\in(-\frac12;0)\cup(0;\frac12)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

22

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(3^{x-3}\gt5^{x^2-7x+12}\). Geben Sie die kleinste ganzzahlige Lösung an.

Ihre Antwort

Lösung

Nach Logarithmieren zur Basis \(5\) erhält man \((x-3)\log_5 3\gt(x-3)(x-4)\), also \((x-3)(x-4-\log_5 3)\lt0\). Daher \(3\lt x\lt4+\log_5 3\). Die kleinste ganzzahlige Lösung ist \(4\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

23

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^x+\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}\right)^x\lt8\). Geben Sie die größte ganzzahlige Lösung an.

Ihre Antwort

Lösung

Da das Produkt der beiden Basen \(1\) ist, setzen wir \(t=(\sqrt{4+\sqrt{15}})^x\gt0\). Dann gilt \(t+1/t\lt8\), also \(4-\sqrt{15}\lt t\lt4+\sqrt{15}\). Das entspricht \(-2\lt x\lt2\). Die größte ganze Lösung ist \(1\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

24

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(3^{1+\sqrt{x+1}}+3^{2-\sqrt{x+1}}\ge28\). Geben Sie die kleinste ganzzahlige Lösung an.

Ihre Antwort

Lösung

Definitionsbereich: \(x\ge-1\). Setzen wir \(t=3^{\sqrt{x+1}}\ge1\). Dann \(3t+9/t\ge28\), also \(3t^2-28t+9\ge0\). Daraus folgt \(t\le1/3\) oder \(t\ge9\). Wegen \(t\ge1\) bleibt \(t\ge9\), also \(x\ge3\). Die kleinste ganzzahlige Lösung ist \(3\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

25

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(3^x\cdot5^x\le\dfrac1{15}\).

А \((-\infty;-1]\) Б \([1;+\infty)\) В \((-\infty;\dfrac1{15}]\) Г \((-\infty;1]\) Д \([-1;+\infty)\)

Lösung

\(3^x\cdot5^x=15^x\) und \(1/15=15^{-1}\). Da \(15\gt1\), folgt \(x\le-1\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

26

Aufgabe Eine richtige Antwort

Welche der angegebenen Zahlen ist eine Lösung der Ungleichung \(5^{-x}\gt25\)?

А \(-3\) Б \(1\) В \(-1\) Г \(0\) Д \(3\)

Lösung

\(25=5^2\). Aus \(5^{-x}\gt5^2\) folgt \(-x\gt2\), also \(x\lt-2\). Nur \(-3\) erfüllt diese Bedingung. Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

27

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie das Ungleichungssystem \(\begin{cases}5^x\lt25,\\2-x\lt8.\end{cases}\)

А \((2;6)\) Б \((2;+\infty)\) В \((-6;5)\) Г \((-\infty;-6)\) Д \((-6;2)\)

Lösung

Aus \(5^x\lt5^2\) folgt \(x\lt2\). Aus \(2-x\lt8\) folgt \(x\gt-6\). Daher \(x\in(-6;2)\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

28

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie das Ungleichungssystem \(\begin{cases}\left(\dfrac13\right)^x\lt81,\\|x|\le5.\end{cases}\)

А \((-\infty;4)\) Б \([5;+\infty)\) В \([-5;-4)\) Г \((-4;5]\) Д \([-5;4)\)

Lösung

\(81=(1/3)^{-4}\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt \(x\gt-4\). Außerdem gilt \(-5\le x\le5\). Daher \(x\in(-4;5]\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

29

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\left(\dfrac15\right)^x\gt\dfrac1{25}\).

А \((2;+\infty)\) Б \((0;2)\) В \((-\infty;5)\) Г \((5;+\infty)\) Д \((-\infty;2)\)

Lösung

\(1/25=(1/5)^2\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt \(x\lt2\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

30

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(8^x\gt\dfrac1{64}\).

А \((2;+\infty)\) Б \((-\infty;-3)\) В \((-2;+\infty)\) Г \((0;2)\) Д \((-\infty;-2)\)

Lösung

\(8=2^3\) und \(1/64=2^{-6}\). Daher \(3x\gt-6\), also \(x\gt-2\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

Exponentialungleichungen