\(2x(x+2)-5(x+2)=0\). Ausklammern ergibt \((x+2)(2x-5)=0\). Daher \(x=-2\) oder \(x=\dfrac52=2{,}5\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
2
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wenn \(x+2y-6z=-1\) und \(-y+3z=5\), dann ist \(x=\ldots\)
Lösung
Aus \(-y+3z=5\) folgt \(y-3z=-5\), also \(2y-6z=-10\). In die erste Gleichung eingesetzt: \(x-10=-1\), daher \(x=9\). Antwort: A.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
3
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{2}{x}=5\).
Lösung
Es gilt \(x\ne0\). Multiplikation mit \(x\) ergibt \(2=5x\), also \(x=\dfrac25=0{,}4\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
4
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie \(||2x-1|-3|=5\). Hat die Gleichung genau eine Lösung, geben Sie diese an. Hat sie mehrere Lösungen, geben Sie das Produkt aller Lösungen an.
Lösung
Setzen wir \(u=|2x-1|\ge0\). Dann \(|u-3|=5\), also \(u=8\) oder \(u=-2\). Da \(u\ge0\), bleibt \(|2x-1|=8\). Somit \(x_1=4{,}5\) und \(x_2=-3{,}5\). Das Produkt ist \(-15{,}75\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
5
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=2\).
Lösung
Multiplikation mit \(6\): \(3x+2x=12\). Also \(5x=12\) und \(x=\dfrac{12}{5}=2{,}4\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
6
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{2x-3}{3}=\dfrac{x+1}{6}\).
Lösung
Multiplikation mit \(6\): \(2(2x-3)=x+1\). Daraus \(4x-6=x+1\), also \(3x=7\) und \(x=\dfrac73\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
7
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(0{,}5(3x-4)=\dfrac{x+1}{4}\).
Lösung
Multiplikation mit \(4\): \(2(3x-4)=x+1\). Also \(6x-8=x+1\), daher \(5x=9\) und \(x=\dfrac95\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
8
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie die Summe der Lösungen der Gleichung \(|x-1|=6\) an.
Lösung
Aus \(|x-1|=6\) folgt \(x-1=6\) oder \(x-1=-6\). Daher \(x_1=7\), \(x_2=-5\), und die Summe ist \(2\). Antwort: C.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
9
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \((x^2+2x)(x-1)=0\).
Lösung
\((x^2+2x)(x-1)=x(x+2)(x-1)=0\). Daher \(x=0\), \(x=-2\) oder \(x=1\). Antwort: C.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
10
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie das Produkt der Lösungen der Gleichung \(x^2+6x-55=0\).
Lösung
Nach dem Satz von Vieta ist für \(x^2+px+q=0\) das Produkt der Lösungen gleich \(q\). Hier \(q=-55\), also \(x_1x_2=-55\). Antwort: A.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
11
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{|x|}{10}=2\).
Lösung
Multiplikation mit \(10\) ergibt \(|x|=20\). Daher \(x=-20\) oder \(x=20\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
12
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie das Intervall an, in dem die Lösung der Gleichung \(0{,}5(x-4)=1{,}5\) liegt.
Lösung
Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x-4=3\), also \(x=7\). Die Zahl \(7\) liegt im Intervall \((4;8]\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
13
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(|2x-1|=6\).
Lösung
Es gilt \(2x-1=6\) oder \(2x-1=-6\). Daher \(x=3{,}5\) oder \(x=-2{,}5\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
14
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(4x^2=1\).
Lösung
Durch \(4\) teilen: \(x^2=\dfrac14\). Daher \(x=\pm\dfrac12\), also \(x=-0{,}5\) oder \(x=0{,}5\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
15
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wenn die Zahlen \(x\) und \(y\) die Beziehung \(2y+4=x\) erfüllen, dann ist \(y=\ldots\)
Lösung
Aus \(2y+4=x\) folgt \(2y=x-4\). Daher \(y=\dfrac{x-4}{2}\). Antwort: C.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
16
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(x^2-10=5x+14\).
Lösung
Alles auf eine Seite: \(x^2-5x-24=0\). Faktorisieren: \((x-8)(x+3)=0\). Daher \(x=-3\) oder \(x=8\). Antwort: C.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
17
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Bestimmen Sie \(x_1^2+x_2^2\), wobei \(x_1\) und \(x_2\) die Lösungen der Gleichung \(x^2-12x+13=0\) sind.
Lösung
Nach dem Satz von Vieta gilt \(x_1+x_2=12\) und \(x_1x_2=13\). Also \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=144-26=118\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
18
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie die Lösung der Gleichung \(|x^2-6x|=9\) an, die im Intervall \((-2;1]\) liegt.
Lösung
Es gibt zwei Fälle: \(x^2-6x=9\) oder \(x^2-6x=-9\). Daraus folgen \(x=3\pm3\sqrt2\) beziehungsweise \(x=3\). Nur \(3-3\sqrt2\approx-1{,}24\) liegt in \((-2;1]\). Antwort: A.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
19
Aufgabe
Eine richtige Antwort
In welchem Intervall liegt die Lösung der Gleichung \(2x-3=4\)?
Lösung
Aus \(2x-3=4\) folgt \(2x=7\), also \(x=3{,}5\). Diese Zahl liegt im Intervall \([2;4)\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
20
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Welche der angegebenen Zahlen ist eine Lösung der Gleichung \(2|x|=2\)?
Lösung
Durch \(2\) teilen: \(|x|=1\). Daher \(x=1\) oder \(x=-1\). Unter den Antwortmöglichkeiten steht nur \(x=-1\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
21
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \( (x+1)(2x-3)=0 \).
Lösung
Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist: \(x+1=0\) oder \(2x-3=0\). Daher \(x=-1\) oder \(x=\dfrac32=1{,}5\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
22
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(x^2-8x+15=0\).
Lösung
Faktorisieren: \(x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\). Daher \(x=3\) oder \(x=5\). Antwort: A.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
23
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(|5-4x|=3\). Hat die Gleichung genau eine Lösung, geben Sie diese an. Hat sie mehrere Lösungen, geben Sie deren Summe an.
Lösung
Es gilt \(5-4x=3\) oder \(5-4x=-3\). Daraus folgen \(x=0{,}5\) und \(x=2\). Die Summe ist \(2{,}5\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
24
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie das Verhältnis der kleineren zur größeren Lösung der quadratischen Gleichung \(x^2+5x-6=0\).
Lösung
\(x^2+5x-6=(x+6)(x-1)\), also sind die Lösungen \(-6\) und \(1\). Das Verhältnis der kleineren zur größeren Lösung ist \(-6:1=-6\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
25
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wenn \(x=t-2\), dann ist \(x^2-t^2=\ldots\)
Lösung
Setzen wir \(x=t-2\) ein: \(x^2-t^2=(t-2)^2-t^2=t^2-4t+4-t^2=4-4t\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
26
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Welche der angegebenen Zahlen ist eine Lösung der Gleichung \(\dfrac{5x+8}{3}=1\)?
Lösung
Multiplikation mit \(3\): \(5x+8=3\). Dann \(5x=-5\), also \(x=-1\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
27
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(x^2-4x+3=0\).
Lösung
Faktorisieren: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Daher \(x=1\) oder \(x=3\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
28
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie die Zahl an, die eine Lösung der Gleichung \(\dfrac{8}{x}=\dfrac25\) ist.
Lösung
Aus der Proportion folgt \(8\cdot5=2x\). Also \(40=2x\) und damit \(x=20\). Antwort: A.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
29
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(x^2=25x\).
Lösung
Alles auf eine Seite: \(x^2-25x=0\). Ausklammern: \(x(x-25)=0\). Daher \(x=0\) oder \(x=25\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
30
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{x}{10}=2{,}5\).
Lösung
Multiplikation mit \(10\): \(x=2{,}5\cdot10=25\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
31
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(x+4|x|=3\). Hat die Gleichung genau eine Lösung, geben Sie diese an. Hat sie mehrere Lösungen, geben Sie deren Summe an.
Lösung
Für \(x\ge0\) gilt \(|x|=x\), also \(5x=3\) und \(x=0{,}6\). Für \(x<0\) gilt \(|x|=-x\), also \(x-4x=3\) und \(x=-1\). Die Summe der Lösungen ist \(-0{,}4\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
32
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie die Lösung der Gleichung \(1-5x=0\) an.
Lösung
\(1-5x=0\Rightarrow 5x=1\Rightarrow x=\dfrac15\). Antwort: C.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
33
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(x^4-x^2-20=0\). Geben Sie das Produkt aller reellen Lösungen an.
Lösung
Setzen wir \(t=x^2\) mit \(t\ge0\). Dann \(t^2-t-20=(t-5)(t+4)=0\), also \(t=5\). Somit \(x=\pm\sqrt5\), und das Produkt der reellen Lösungen ist \(-5\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
34
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie die Summe der Lösungen der Gleichung \(x^2+3x-4=0\).
Lösung
Nach dem Satz von Vieta ist die Summe der Lösungen von \(x^2+3x-4=0\) gleich \(-3\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
35
Aufgabe
Eine richtige Antwort
In welchem der folgenden Intervalle liegt die Lösung der Gleichung \(\dfrac{x}{9-x}=\dfrac12\)?
Lösung
Es gilt \(x\ne9\). Aus der Proportion folgt \(2x=9-x\), also \(3x=9\) und \(x=3\). Damit liegt die Lösung im Intervall \((2;5]\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
36
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(2x-3=4\).
Lösung
\(2x-3=4\Rightarrow 2x=7\Rightarrow x=3{,}5\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
37
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(x(x-4)=x^2+8\).
Lösung
Ausmultiplizieren: \(x^2-4x=x^2+8\). Nach Kürzen von \(x^2\) bleibt \(-4x=8\), also \(x=-2\). Antwort: A.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
38
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\bigl||5-5x|-|5x-1|\bigr|=3\) und geben Sie das Produkt der Lösungen an. Gibt es unendlich viele Lösungen, geben Sie 100 ein; gibt es keine Lösung, geben Sie 200 ein.
Lösung
Die kritischen Punkte der inneren Beträge sind \(x=0{,}2\) und \(x=1\). Für \(x\in[0{,}2;1]\) gilt \(|5-5x|-|5x-1|=6-10x\). Also \(|6-10x|=3\), woraus \(x=0{,}3\) oder \(x=0{,}9\) folgt. Auf den übrigen Intervallen hat der Ausdruck den Betrag \(4\), daher gibt es keine weiteren Lösungen. Das Produkt ist \(0{,}27\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
39
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(x^3+12x^2+44x+48=0\). Geben Sie die Summe der Lösungen an.
Lösung
\(x=-2\) ist eine Lösung. Daher \(x^3+12x^2+44x+48=(x+2)(x^2+10x+24)=(x+2)(x+4)(x+6)\). Die Lösungen sind \(-2,-4,-6\); ihre Summe ist \(-12\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
40
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie den Parameter \(a\), für den die Gleichung \((a^2-3a-4)x+16=a^2\) unendlich viele Lösungen hat.
Lösung
Wir schreiben um: \((a-4)(a+1)x=(a-4)(a+4)\). Für unendlich viele Lösungen muss die Gleichung zur Identität \(0x=0\) werden. Bei \(a=4\) ist das erfüllt. Bei \(a=-1\) erhält man \(0x=-15\), also keine Lösung. Daher \(a=4\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
