За означенням логарифма \(\log_3x=-1\) рівносильно \(x=3^{-1}\). Отже, \(x=\dfrac13\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
2
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_6(x-3)+\log_6(x-8)=2\). Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь; якщо воно має два корені, запишіть їх суму.
Розв’язання
ОДЗ: \(x\gt8\). Об’єднаємо логарифми: \(\log_6((x-3)(x-8))=2\), тому \((x-3)(x-8)=36\). Маємо \(x^2-11x-12=0\), звідки \(x=12\) або \(x=-1\). Значення \(-1\) не належить ОДЗ, тому єдиний корінь — \(12\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
3
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(|3\lg x+1|-|\lg x-3|=2\). Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть суму всіх коренів.
Розв’язання
ОДЗ: \(x\gt0\). Позначимо \(t=\lg x\). Маємо \(|3t+1|-|t-3|=2\). Критичні точки: \(t=-\dfrac13\) і \(t=3\).
На \(t\lt-\dfrac13\): \(-3t-1-(3-t)=2\), звідки \(t=-3\), тому \(x=10^{-3}=0{,}001\).
На \(-\dfrac13\le t\lt3\): \(3t+1-(3-t)=2\), звідки \(t=1\), тому \(x=10\).
На \(t\ge3\) допустимих розв’язків немає. Сума коренів: \(10+0{,}001=10{,}001\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_5^2x+\log_5x=2\). Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь; якщо має кілька коренів, запишіть їх суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть \(100\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\gt0\). Позначимо \(t=\log_5x\). Тоді \(t^2+t-2=0\), тобто \((t+2)(t-1)=0\). Звідси \(t=-2\) або \(t=1\). Тому \(x_1=5^{-2}=0{,}04\), \(x_2=5\). Сума коренів: \(5{,}04\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
5
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому проміжку належить корінь рівняння \(\log_2x=2\log_2 3\)?
Розв’язання
\(2\log_2 3=\log_2 3^2=\log_2 9\). Отже, \(x=9\). Число \(9\) належить проміжку \((8;10]\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
6
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть число, що є коренем рівняння \(-\log_2x=3\).
Розв’язання
\(-\log_2x=3\Rightarrow\log_2x=-3\). За означенням логарифма \(x=2^{-3}=\dfrac18\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
7
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \(\log_{\frac13}(x+1)=-2\).
Розв’язання
За означенням логарифма \(x+1=\left(\dfrac13\right)^{-2}=9\). Тому \(x=8\). Число \(8\) належить проміжку \((7;9]\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
8
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_4x\cdot\left(\log_4x+\log_4\dfrac1{16}\right)=3\). Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповідь; якщо має кілька коренів, запишіть їх суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть \(100\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\gt0\). Маємо \(\log_4\dfrac1{16}=-2\). Позначимо \(t=\log_4x\). Тоді \(t(t-2)=3\), тобто \(t^2-2t-3=0\). Звідси \(t=-1\) або \(t=3\). Тому \(x_1=4^{-1}=0{,}25\), \(x_2=4^3=64\). Сума коренів: \(64{,}25\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
9
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_{0{,}4}(5x^2-8)=\log_{0{,}4}(-3x)\). Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь; якщо має кілька коренів, запишіть їх суму.
Розв’язання
ОДЗ: \(5x^2-8\gt0\) і \(-3x\gt0\). З другої умови \(x\lt0\), а разом маємо \(x\lt-\sqrt{\dfrac85}\). Оскільки логарифми мають однакову допустиму основу, прирівнюємо аргументи: \(5x^2-8=-3x\). Маємо \(5x^2+3x-8=0\), звідки \(x=1\) або \(x=-1{,}6\). Значення \(1\) не належить ОДЗ, тому єдиний корінь \(-1{,}6\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_{x^2-1}(x^3+6)=\log_{x^2-1}(4x^2-x)\). У відповідь запишіть суму коренів рівняння.
Розв’язання
Для логарифма потрібно \(x^2-1\gt0\), \(x^2-1\ne1\), а також додатність обох аргументів. На ОДЗ рівність логарифмів з однаковою основою рівносильна \(x^3+6=4x^2-x\). Маємо \(x^3-4x^2+x+6=0\), тобто \((x+1)(x-2)(x-3)=0\). Кандидати: \(-1,2,3\). Значення \(x=-1\) не допускається, бо основа логарифма дорівнює \(0\). Значення \(2\) і \(3\) задовольняють ОДЗ. Сума коренів: \(2+3=5\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
11
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \(\log_3 x=2\)?
Розв’язання
За означенням логарифма \(\log_3x=2\) рівносильно \(x=3^2=9\). Число \(9\) належить проміжку \((8;11]\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
12
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_2x+\log_2(x-7)=3\). Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть їх суму.
Розв’язання
ОДЗ: \(x\gt0\) і \(x-7\gt0\), тобто \(x\gt7\). Об’єднаємо логарифми: \(\log_2(x(x-7))=3\). Тому \(x(x-7)=8\), або \(x^2-7x-8=0\). Маємо \((x-8)(x+1)=0\), звідки \(x=8\) або \(x=-1\). Значення \(-1\) не належить ОДЗ. Отже, єдиний корінь — \(8\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
13
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_x(2x^2-3x-4)=2\).
Розв’язання
Для основи логарифма потрібно \(x\gt0\), \(x\ne1\), а аргумент має бути додатним. За означенням логарифма \(2x^2-3x-4=x^2\). Тому \(x^2-3x-4=0\), тобто \((x-4)(x+1)=0\). Кандидати: \(x=4\) і \(x=-1\). Значення \(-1\) не може бути основою логарифма. При \(x=4\) усі умови виконуються. Отже, \(x=4\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
14
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть систему рівнянь \(\begin{cases}2^{2y-x}=32,\\ \log_{\frac12}(y-x)=-2.\end{cases}\) У відповідь запишіть добуток \(x_0y_0\), якщо пара \((x_0;y_0)\) є розв’язком системи.
Розв’язання
Із першого рівняння \(2^{2y-x}=2^5\), тому \(2y-x=5\). Із другого рівняння \(y-x=\left(\dfrac12\right)^{-2}=4\). Маємо систему \(\begin{cases}2y-x=5,\\y-x=4.\end{cases}\) Віднімаємо друге рівняння від першого: \(y=1\). Тоді \(1-x=4\), звідки \(x=-3\). Отже, \(x_0y_0=-3\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
15
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x-1+\log_4 3=\log_4(5^x-4^{x-1})\).
Розв’язання
Ліву частину подамо як логарифм: \(x-1=\log_4 4^{x-1}\), тому \(x-1+\log_4 3=\log_4(3\cdot4^{x-1})\). Маємо \(\log_4(3\cdot4^{x-1})=\log_4(5^x-4^{x-1})\). Отже, \(3\cdot4^{x-1}=5^x-4^{x-1}\). Переносимо: \(4\cdot4^{x-1}=5^x\), тобто \(4^x=5^x\). Звідси \(\left(\dfrac45\right)^x=1\), тому \(x=0\). Перевірка аргументу: \(5^0-4^{-1}=\dfrac34\gt0\). Отже, \(x=0\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
16
Завдання
Одна правильна відповідь
Яке з наведених чисел є коренем рівняння \(\log_4(x-1)=3\)?
Розв’язання
За означенням логарифма \(x-1=4^3=64\). Тому \(x=65\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \(\log_{64}x=\dfrac12\).
Розв’язання
За означенням логарифма \(x=64^{1/2}=\sqrt{64}=8\). Число \(8\) належить проміжку \((6;32)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(4+\log_{\frac12}x=0\).
Розв’язання
\(\log_{\frac12}x=-4\). За означенням логарифма \(x=\left(\dfrac12\right)^{-4}=2^4=16\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
19
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\lg(5x-3)=1\).
Розв’язання
За означенням десяткового логарифма \(5x-3=10^1=10\). Тому \(5x=13\), звідки \(x=\dfrac{13}{5}=2{,}6\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
20
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_2(2x+1)=\log_2(9x+17)-\log_2(x+5)\).
Розв’язання
ОДЗ: \(2x+1\gt0\), \(9x+17\gt0\), \(x+5\gt0\). Найсильніша умова: \(x\gt-\dfrac12\). Перенесемо \(\log_2(x+5)\) вліво: \(\log_2((2x+1)(x+5))=\log_2(9x+17)\). Тому \((2x+1)(x+5)=9x+17\). Маємо \(2x^2+11x+5=9x+17\), тобто \(2x^2+2x-12=0\), або \(x^2+x-6=0\). Кандидати: \(x=2\) і \(x=-3\). Значення \(-3\) не належить ОДЗ, тому єдиний корінь \(x=2\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
21
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_5\!\left(\log_4\!\left(\log_3x\right)\right)=0\).
Розв’язання
Послідовно розкриваємо означення логарифма. Із \(\log_5(\log_4(\log_3x))=0\) маємо \(\log_4(\log_3x)=1\). Тоді \(\log_3x=4\), а звідси \(x=3^4=81\). Усі проміжні аргументи логарифмів додатні. Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
22
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \((\log_2x)^2-\log_2x^5=4\log_2 64\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\gt0\). Позначимо \(t=\log_2x\). Тоді \(\log_2x^5=5t\), а \(4\log_2 64=4\cdot6=24\). Отримаємо \(t^2-5t-24=0\), тобто \((t-8)(t+3)=0\). Звідси \(t=8\) або \(t=-3\). Тому \(x=2^8=256\) або \(x=2^{-3}=\dfrac18\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
23
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_8(x-7)+\log_3(7-x)=11\).
Розв’язання
Для першого логарифма потрібно \(x-7\gt0\), тобто \(x\gt7\). Для другого потрібно \(7-x\gt0\), тобто \(x\lt7\). Ці умови несумісні, тому ОДЗ порожня. Рівняння не має коренів. Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
24
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\log_x7+2\log_x7=3\).
Розв’язання
Для основи логарифма потрібно \(x\gt0\), \(x\ne1\). Маємо \(3\log_x7=3\), тому \(\log_x7=1\). За означенням логарифма \(x^1=7\), отже \(x=7\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
25
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть найменше ціле значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\log_8(x+2)=\log_8(2x-a)\) має корені.
Розв’язання
На ОДЗ рівність логарифмів з однаковою основою дає \(x+2=2x-a\), звідки \(x=a+2\). Для існування логарифмів потрібно \(x+2\gt0\) і \(2x-a\gt0\). Після підстановки \(x=a+2\) обидві умови зводяться до \(a+4\gt0\), тобто \(a\gt-4\). Найменше ціле значення \(a=-3\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
26
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть усі значення параметра \(a\), при яких добуток коренів рівняння \[(\log_2x)^2-(2a^2-a)\log_2x+1-2a=0\] дорівнює \(8\). Якщо таке значення \(a\) єдине, запишіть його у відповідь. Якщо таких значень кілька, запишіть найменше з них.
Розв’язання
Позначимо \(t=\log_2x\). Якщо \(t_1,t_2\) — дійсні корені квадратного рівняння, то \(x_1x_2=2^{t_1+t_2}\). За умовою \(x_1x_2=8=2^3\), тому \(t_1+t_2=3\). За теоремою Вієта \(t_1+t_2=2a^2-a\). Отже, \(2a^2-a=3\), звідки \(a=-1\) або \(a=1{,}5\). Перевіримо існування дійсних коренів \(t\). При \(a=-1\) маємо \(t^2-3t+3=0\), дискримінант від’ємний. При \(a=1{,}5\) дискримінант додатний. Тому єдине допустиме значення \(a=1{,}5\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
27
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть значення параметра \(a\), при якому корінь рівняння \[\lg(\sin5\pi x)=\sqrt{16+a-x}\] належить проміжку \(\left[\dfrac32;2\right]\).
Розв’язання
Для логарифма потрібно \(0\lt\sin5\pi x\le1\), тому \(\lg(\sin5\pi x)\le0\). Права частина є невід’ємною. Отже, рівність можлива лише тоді, коли обидві частини дорівнюють нулю. Маємо \(\sin5\pi x=1\) і \(16+a-x=0\). Із \(\sin5\pi x=1\): \(5\pi x=\dfrac\pi2+2\pi n\), тому \(x=\dfrac1{10}+\dfrac{2n}{5}\). На проміжку \([\dfrac32;2]\) є лише значення при \(n=4\): \(x=\dfrac{17}{10}=1{,}7\). Тоді \(a=x-16=1{,}7-16=-14{,}3\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
28
Завдання
Розгорнута відповідь
Задано рівняння \[\frac{(x-2)\left(x^2-3(a-1)x+2a^2-3a\right)}{\log_{0{,}5}(3-2x)+2}=0,\] де \(x\) — змінна, \(a\) — стала. 1. Запишіть множину допустимих значень змінної \(x\). 2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень \(a\).
Розв’язання
1. Для логарифма потрібно \(3-2x\gt0\), тобто \(x\lt1{,}5\). Знаменник не повинен дорівнювати нулю: \(\log_{0{,}5}(3-2x)+2\ne0\). Отже, \(\log_{0{,}5}(3-2x)\ne-2\), тому \(3-2x\ne4\) і \(x\ne-0{,}5\). Маємо ОДЗ: \[x\in(-\infty;-0{,}5)\cup(-0{,}5;1{,}5).\]
2. Для дробу, що дорівнює нулю, чисельник має бути нульовим. Корінь \(x=2\) не належить ОДЗ. Квадратний множник розкладається: \[x^2-3(a-1)x+2a^2-3a=(x-a)(x-(2a-3)).\] Тому можливі корені \(x=a\) та \(x=2a-3\), але кожен потрібно перевірити за ОДЗ.
Для \(x=a\): \(a\in(-\infty;-0{,}5)\cup(-0{,}5;1{,}5)\).
Для \(x=2a-3\): \(a\in(-\infty;1{,}25)\cup(1{,}25;2{,}25)\).
Отже:
якщо \(a\in(-\infty;-0{,}5)\cup(-0{,}5;1{,}25)\cup(1{,}25;1{,}5)\), то \(x\in\{a;2a-3\}\);
якщо \(a=-0{,}5\) або \(a\in[1{,}5;2{,}25)\), то \(x=2a-3\);
якщо \(a=1{,}25\), то \(x=a\);
якщо \(a\in[2{,}25;+\infty)\), розв’язків немає.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
29
Завдання
Одна правильна відповідь
Позначте проміжок, якому належить корінь рівняння \(1-\log_{0{,}5}x=3\).
Розв’язання
\(1-\log_{0{,}5}x=3\), тому \(\log_{0{,}5}x=-2\). За означенням логарифма \(x=(0{,}5)^{-2}=4\). Число \(4\) належить проміжку \([3;10)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
30
Завдання
Числова відповідь
Визначте суму всіх цілих значень \(a\), за кожного з яких рівняння \(\lg(2ax+5-a)=\lg(4x)\) не має коренів.
Розв’язання
ОДЗ передбачає \(x\gt0\). На ОДЗ рівність логарифмів дає \(2ax+5-a=4x\), тобто \(x(2a-4)=a-5\). При \(a=2\) отримуємо суперечність \(0=-3\), тому коренів немає. При \(a\ne2\) маємо \(x=\dfrac{a-5}{2a-4}\). Рівняння не матиме коренів, якщо це значення не належить ОДЗ, тобто \(\dfrac{a-5}{2a-4}\le0\). Звідси \(a\in(2;5]\). Разом з окремим випадком \(a=2\): \(a\in[2;5]\). Цілі значення: \(2,3,4,5\), їх сума \(14\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
