\(\sin^2\alpha(1-\cot^2\alpha)=\sin^2\alpha-\sin^2\alpha\cdot\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos 2\alpha\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
2
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому проміжку належить значення виразу \(\sin 410^\circ\)?
Розв’язання
\(\sin410^\circ=\sin(360^\circ+50^\circ)=\sin50^\circ\). На \((0^\circ;90^\circ)\) синус зростає, а \(45^\circ<50^\circ<60^\circ\). Тому \(\dfrac{\sqrt2}{2}<\sin50^\circ<\dfrac{\sqrt3}{2}\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
3
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, якому належить значення виразу \(\cot25^\circ\).
Розв’язання
На проміжку \((0^\circ;90^\circ)\) функція \(y=\cot x\) спадає. Оскільки \(25^\circ<30^\circ\), то \(\cot25^\circ>\cot30^\circ=\sqrt3\). Отже, \(\cot25^\circ\in(\sqrt3;+\infty)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Одна правильна відповідь
На одиничному колі зображено точку \(P(-0{,}8;0{,}6)\) і кут \(\alpha\) (див. рисунок). Визначте \(\cos\alpha\).
Розв’язання
На одиничному колі косинус кута дорівнює абсцисі відповідної точки. Для \(P(-0{,}8;0{,}6)\) маємо \(\cos\alpha=-0{,}8\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(450^\circ+\alpha=360^\circ+(90^\circ+\alpha)\), тому \(\cos(450^\circ+\alpha)=\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha\). Отже, \(2(-\sin\alpha)-\sin\alpha=-3\sin\alpha\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
6
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\sin210^\circ\).
Розв’язання
\(210^\circ=180^\circ+30^\circ\), тому \(\sin210^\circ=-\sin30^\circ=-\dfrac12\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
7
Завдання
Одна правильна відповідь
Вираз \(\sin^2 2x\) тотожно дорівнює:
Розв’язання
За формулою подвійного кута \(\sin2x=2\sin x\cos x\). Тому \(\sin^22x=(2\sin x\cos x)^2=4\sin^2x\cos^2x\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Оскільки \(\sin^2\beta+\cos^2\beta=1\), маємо \(\dfrac{7-1}{3(\sin^2\beta+\cos^2\beta)}=\dfrac6{3}=2\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
9
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть значення виразу \(4\sin^2\alpha\), якщо \(4\cos^2\alpha=1\).
Розв’язання
З умови \(4\cos^2\alpha=1\), отже \(\cos^2\alpha=\dfrac14\). Тоді \(\sin^2\alpha=1-\dfrac14=\dfrac34\), тому \(4\sin^2\alpha=3\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Одна правильна відповідь
Знайдіть найменший додатний період функції \(y=\dfrac12\tan(4x)\).
Розв’язання
Для функції \(\tan(kx)\) найменший додатний період дорівнює \(T=\dfrac\pi{|k|}\). Тут \(k=4\), тому \(T=\dfrac\pi4\). Множник \(\dfrac12\) перед тангенсом на період не впливає. Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Головне значення \(\arccos x\) належить відрізку \([0;\pi]\). Оскільки \(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\), то \(\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
12
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть значення виразу \(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha\), якщо \(\tan\alpha-\cot\alpha=4\).
Розв’язання
Піднесемо рівність до квадрата: \((\tan\alpha-\cot\alpha)^2=16\). Тоді \(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha-2\tan\alpha\cot\alpha=16\). Оскільки \(\tan\alpha\cot\alpha=1\), маємо \(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha-2=16\), звідки шукане значення дорівнює \(18\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
13
Завдання
Одна правильна відповідь
Розташуйте в порядку зростання числа: \(a=\tan36^\circ\), \(b=\tan93^\circ\), \(c=\tan180^\circ\).
Розв’язання
\(a=\tan36^\circ>0\). Далі \(b=\tan93^\circ=\tan(90^\circ+3^\circ)=-\cot3^\circ<0\), а \(c=\tan180^\circ=0\). Отже, \(b
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
14
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть значення виразу \(\tan\alpha+\cot\alpha\), якщо \(\alpha=15^\circ\).
Розв’язання
\(\tan\alpha+\cot\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{2}{\sin2\alpha}\). При \(\alpha=15^\circ\): \(\dfrac{2}{\sin30^\circ}=\dfrac{2}{1/2}=4\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
15
Завдання
Одна правильна відповідь
Відомо, що \(\cot\alpha\lt0\), \(\cos\alpha\gt0\). Якого значення може набувати \(\sin\alpha\)?
Розв’язання
Оскільки \(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\lt0\), а \(\cos\alpha\gt0\), то \(\sin\alpha\lt0\). Одночасно через \(\cos\alpha\gt0\) значення \(\sin\alpha=-1\) неможливе. Із наведених варіантів підходить лише \(-\dfrac12\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
16
Завдання
Установлення відповідності
Установіть відповідність між виразом (1–4) та тотожно рівним йому виразом (А–Д).
А
\(\cos^2\alpha\) Б
\(\cos2\alpha\) В
\(\sin2\alpha\) Г
\(-\cos2\alpha\) Д
\(\sin^2\alpha\)
Розв’язання
1) \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\) — Д. 2) \(2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha\) — В. 3) \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha\) — Б. 4) \(\cos^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\cos^2\alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha\) — А. Відповідь: 1–Д, 2–В, 3–Б, 4–А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \((1-\cos^2\alpha)\cot^2\alpha\).
Розв’язання
\(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\), а \(\cot^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\). Тому \((1-\cos^2\alpha)\cot^2\alpha=\sin^2\alpha\cdot\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cos^2\alpha\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Числова відповідь
Обчисліть значення виразу \(2\sin\alpha\cos\alpha\), якщо \(\sin\alpha+\cos\alpha=1{,}2\).
Розв’язання
Піднесемо умову до квадрата: \((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1{,}44\). Оскільки \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), маємо \(1+2\sin\alpha\cos\alpha=1{,}44\). Отже, \(2\sin\alpha\cos\alpha=0{,}44\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
19
Завдання
Числова відповідь
Обчисліть \(\cos\alpha\), якщо \(\sin\alpha=0{,}8\) і \(\dfrac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi\).
Розв’язання
З тотожності \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \(\cos^2\alpha=1-0{,}8^2=0{,}36\), тому \(\cos\alpha=\pm0{,}6\). Кут лежить у II чверті, де косинус від’ємний, отже \(\cos\alpha=-0{,}6\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
20
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}\).
Розв’язання
Використаємо тотожність \(1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\). Тоді \(\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}=\cos^2\alpha\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
21
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому проміжку належить значення виразу \(\sin 415^\circ\)?
Розв’язання
\(415^\circ=360^\circ+55^\circ\), тому \(\sin415^\circ=\sin55^\circ\). У I чверті синус зростає, а \(45^\circ<55^\circ<60^\circ\). Отже, \(\sin45^\circ<\sin55^\circ<\sin60^\circ\), тобто \(\dfrac{\sqrt2}{2}<\sin55^\circ<\dfrac{\sqrt3}{2}\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
22
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\tan\alpha\), якщо \(4\sin\alpha-\cos\alpha=2\cos\alpha-\sin\alpha\).
Розв’язання
Перенесемо доданки: \(5\sin\alpha=3\cos\alpha\). Значення \(\cos\alpha=0\) цій рівності не задовольняє, тому ділимо на \(\cos\alpha\): \(5\tan\alpha=3\). Отже, \(\tan\alpha=\dfrac35\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Використаємо парність і непарність функцій: \(\sin(-x)=-\sin x\), \(\cos(-x)=\cos x\), \(\tan(-x)=-\tan x\), \(\cot(-x)=-\cot x\). Чисельник: \((-\tfrac12)(\tfrac12)-1=-\tfrac54\). Знаменник: \((-\tfrac1{\sqrt3})(\tfrac{\sqrt3}{2})-(-\tfrac{\sqrt3}{2})(-\tfrac1{\sqrt3})=-\tfrac12-\tfrac12=-1\). Отже, значення дробу \(\dfrac{-5/4}{-1}=\dfrac54=1{,}25\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
24
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть значення виразу \(\dfrac{2\cot\alpha}{\tan\alpha}\), якщо \(\tan\alpha=\dfrac15\).
Розв’язання
Оскільки \(\cot\alpha=\dfrac1{\tan\alpha}=5\), то \(\dfrac{2\cot\alpha}{\tan\alpha}=\dfrac{2\cdot5}{1/5}=50\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
25
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(1-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\).
Розв’язання
За основною тригонометричною тотожністю \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Тому \(1-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=1-1=0\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
26
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо \(2\sin\alpha=\cos\alpha\), то \(\tan\alpha=\ldots\)
Розв’язання
З рівності \(2\sin\alpha=\cos\alpha\) випливає, що \(\cos\alpha\ne0\). Поділимо на \(\cos\alpha\): \(2\tan\alpha=1\), отже \(\tan\alpha=\dfrac12=0{,}5\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
27
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть правильну нерівність, якщо \(a=\sin120^\circ\), \(b=\cos120^\circ\).
Розв’язання
\(120^\circ\) лежить у II чверті. Тому \(a=\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}>0\), а \(b=\cos120^\circ=-\dfrac12<0\). Отже, \(b\lt0\lt a\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Розкладемо різницю квадратів: \(\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos2x\). Для \(x=\dfrac{\pi}{12}\) маємо \(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
29
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть найменший додатний період функції \(y=2\cot(3x)\).
Розв’язання
Функція \(\cot x\) має період \(\pi\). Для \(\cot(kx)\) найменший додатний період дорівнює \(T=\dfrac{\pi}{|k|}\). При \(k=3\): \(T=\dfrac{\pi}{3}\). Множник 2 перед функцією на період не впливає. Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Оскільки \(\sqrt{u^2}=|u|\) і \(\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\), маємо \( |\sqrt2+1|-|1-\sqrt2|\). Перше число додатне, а \(1-\sqrt2<0\), тому вираз дорівнює \(\sqrt2+1-(\sqrt2-1)=2\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
За формулою зведення \(\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha\). Тому \(\dfrac{-\sin\alpha}{\sin\alpha}=-1\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
34
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому проміжку належить значення виразу \(\sin\dfrac{7\pi}{6}-1\)?
Розв’язання
\(\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin(\pi+\dfrac{\pi}{6})=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac12\). Тому \(-\dfrac12-1=-\dfrac32\), а \(-\dfrac32\in[-2;-1)\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
35
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \((1-\sin^2\alpha)\tan^2\alpha\).
Розв’язання
\(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\), а \(\tan^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\). Отже, \((1-\sin^2\alpha)\tan^2\alpha=\sin^2\alpha\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
36
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(2\sin^2\alpha\cdot\cot\alpha\).
Розв’язання
\(2\sin^2\alpha\cdot\cot\alpha=2\sin^2\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
37
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\cos210^\circ\).
Розв’язання
\(210^\circ=180^\circ+30^\circ\), тому \(\cos210^\circ=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
38
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо \(2\cos\alpha-5\sin\alpha=0\), то \(\tan\alpha=\ldots\)
Розв’язання
З рівності \(2\cos\alpha=5\sin\alpha\). Оскільки \(\cos\alpha
e0\), ділимо на \(5\cos\alpha\): \(\tan\alpha=\dfrac25\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
39
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \((1+\tan^2\alpha)\sin^2\alpha\).
Розв’язання
За тотожністю \(1+\tan^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}\). Тому \((1+\tan^2\alpha)\sin^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Тоді \(\dfrac{\cos\alpha\cdot\tan\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac1{\sin\alpha}\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
