Перенесемо праву частину вліво: \((x+4)(x-7)-3(x-7)\gt 0\). Винесемо \(x-7\): \((x-7)(x+1)\gt 0\). Добуток додатний поза коренями \(-1\) і \(7\), тому \(x\in(-\infty;-1)\cup(7;+\infty)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
2
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(10-3x\gt 4\).
Розв’язання
\(10-3x\gt 4\Rightarrow -3x\gt -6\). Ділимо на від’ємне число \(-3\), тому знак нерівності змінюється: \(x\lt 2\). Отже, \(x\in(-\infty;2)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
3
Завдання
Одна правильна відповідь
Знайдіть усі значення \(x\), при яких значення виразу \(2-5x\) належить проміжку \((-3;6)\).
Розв’язання
Умова рівносильна подвійній нерівності \(-3\lt 2-5x\lt 6\). Із \(-3\lt 2-5x\) маємо \(x\lt 1\), а з \(2-5x\lt 6\) — \(x\gt -0{,}8\). Отже, \(-0{,}8\lt x\lt 1\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \((18+2x)^2\cdot(x^2+8x+15)\le 0\). У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв’язків.
Розв’язання
Розкладемо: \((18+2x)^2=4(x+9)^2\), \(x^2+8x+15=(x+3)(x+5)\). Квадратний множник невід’ємний і дорівнює нулю при \(x=-9\). Для інших \(x\) знак визначає \((x+3)(x+5)\le0\), тобто \(x\in[-5;-3]\). Отже, цілі розв’язки: \(-9,-5,-4,-3\), їх сума \(-21\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
5
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(2x\ge x^2\).
Розв’язання
\(2x\ge x^2\iff x^2-2x\le0\iff x(x-2)\le0\). Добуток непозитивний між коренями включно, тому \(x\in[0;2]\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
6
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(-\dfrac{x}{5}\gt 5\).
Розв’язання
Помножимо на \(5\): \(-x\gt 25\). Помноживши на \(-1\), змінюємо знак нерівності: \(x\lt -25\). Отже, \(x\in(-\infty;-25)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
7
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\dfrac1x\le\dfrac13\).
Розв’язання
Перенесемо все в одну частину: \(\dfrac1x-\dfrac13=\dfrac{3-x}{3x}\le0\), де \(x\ne0\). Критичні точки: \(0\) і \(3\). За методом інтервалів маємо \(x\in(-\infty;0)\cup[3;+\infty)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
8
Завдання
Одна правильна відповідь
Відомо, що \(a\lt b\). Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.
Розв’язання
Якщо \(a\lt b\), то після множення на \(-1\) знак змінюється: \(-a\gt -b\). Додавши \(0{,}5\), дістанемо \(0{,}5-a\gt 0{,}5-b\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
9
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \((x+4)^2\le16\).
Розв’язання
\((x+4)^2\le16\iff |x+4|\le4\). Тому \(-4\le x+4\le4\), звідки \(-8\le x\le0\). Отже, \(x\in[-8;0]\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(x^3\ge x^2\).
Розв’язання
\(x^3\ge x^2\iff x^3-x^2\ge0\iff x^2(x-1)\ge0\). Оскільки \(x^2\ge0\), нерівність виконується при \(x\ge1\), а також при \(x=0\), коли добуток дорівнює нулю. Отже, \(x\in\{0\}\cup[1;+\infty)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
11
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(0{,}2x-54\lt0\).
Розв’язання
\(0{,}2x-54\lt0\Rightarrow 0{,}2x\lt54\Rightarrow x\lt270\). Отже, \(x\in(-\infty;270)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
12
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \((x+4)(x-8)\gt3(x-8)\).
Розв’язання
Перенесемо праву частину вліво: \((x+4)(x-8)-3(x-8)\gt0\). Винесемо \(x-8\): \((x-8)(x+1)\gt0\). Добуток додатний поза коренями \(-1\) і \(8\), тому \(x\in(-\infty;-1)\cup(8;+\infty)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
13
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \((x^2+64)(x-5)\gt0\).
Розв’язання
Для кожного дійсного \(x\) маємо \(x^2+64\gt0\), тому знак добутку визначається множником \(x-5\). Потрібно \(x-5\gt0\), тобто \(x\gt5\). Отже, \(x\in(5;+\infty)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
14
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(|x+4|\cdot(x-1)\lt0\).
Розв’язання
Модуль \(|x+4|\ge0\) і дорівнює нулю лише при \(x=-4\). Щоб добуток був від’ємним, потрібно \(x-1\lt0\), тобто \(x\lt1\), але точку \(x=-4\) слід виключити, бо там добуток дорівнює нулю. Отже, \(x\in(-\infty;-4)\cup(-4;1)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
За формулою суми кубів \((x+2)(x^2-2x+4)=x^3+8\). Тоді \(x^3-2x\lt x^3+8\Rightarrow -2x\lt8\Rightarrow x\gt-4\). Отже, \(x\in(-4;+\infty)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
16
Завдання
Одна правильна відповідь
Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності \(|x|\gt3\)?
Розв’язання
Нерівність \(|x|\gt3\) рівносильна сукупності \(x\lt-3\) або \(x\gt3\). Із наведених чисел цю умову задовольняє лише \(-8\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть число, що є розв’язком нерівності \(x^2\lt9\).
Розв’язання
\(x^2\lt9\iff |x|\lt3\iff -3\lt x\lt3\). Із наведених чисел цьому проміжку належить лише \(-2\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \(|x-9|\le3\). У відповіді запишіть суму всіх її цілих розв’язків на проміжку \([-15;15]\).
Розв’язання
\(|x-9|\le3\iff -3\le x-9\le3\iff 6\le x\le12\). Усі цілі розв’язки на заданому проміжку: \(6,7,8,9,10,11,12\). Їх сума дорівнює \(63\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
19
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(4(x-2)-3(x+1)\le2x-2\).
Розв’язання
Розкриємо дужки: \(4x-8-3x-3\le2x-2\), тобто \(x-11\le2x-2\). Звідси \(-9\le x\), або \(x\ge-9\). Отже, \(x\in[-9;+\infty)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
20
Завдання
Одна правильна відповідь
Знайдіть суму найбільшого та найменшого натуральних розв’язків нерівності \(2\le\dfrac{x-1}{2}\le3\).
Розв’язання
Помножимо подвійну нерівність на \(2\): \(4\le x-1\le6\). Додавши \(1\), дістанемо \(5\le x\le7\). Натуральні розв’язки: \(5,6,7\). Найменший — \(5\), найбільший — \(7\), їх сума \(12\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
21
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \( (x-1)(x-3)\le 27-2x \).
Розв’язання
Розкриємо дужки: \(x^2-4x+3\le27-2x\), звідси \(x^2-2x-24\le0\). Маємо \( (x-6)(x+4)\le0\), тому добуток непозитивний між коренями включно: \(x\in[-4;6]\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
22
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(4x^2+4x+1\gt0\).
Розв’язання
\(4x^2+4x+1=(2x+1)^2\). Квадрат додатний для всіх \(x\), крім точки, де він дорівнює нулю: \(2x+1=0\Rightarrow x=-0{,}5\). Отже, \(x\in(-\infty;-0{,}5)\cup(-0{,}5;+\infty)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
23
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \( (x^2-6x+8)(3-x)(x+1)\gt0\). У відповіді запишіть суму цілих розв’язків нерівності.
Розв’язання
Розкладемо \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\) і врахуємо \(3-x=-(x-3)\). Маємо \( (x-2)(x-4)(x-3)(x+1)\lt0\). Критичні точки: \(-1,2,3,4\). За методом інтервалів \(x\in(-1;2)\cup(3;4)\). Цілі розв’язки: \(0\) і \(1\), їх сума дорівнює \(1\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
24
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \( (x^3-1)(x^2+2x)(6-x)(49-x^2)\ge0\). У відповіді запишіть найбільший від’ємний цілий розв’язок нерівності.
Розв’язання
Розкладемо множники: \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\), \(x^2+2x=x(x+2)\), \(49-x^2=(7-x)(7+x)\). Оскільки \(x^2+x+1\gt0\) для всіх дійсних \(x\), нерівність рівносильна \(x(x-1)(x+2)(x-6)(x-7)(x+7)\ge0\). Метод інтервалів дає \(x\in(-\infty;-7]\cup[-2;0]\cup[1;6]\cup[7;+\infty)\). Найбільший від’ємний цілий розв’язок — \(-1\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Оскільки \(3-x=-(x-3)\), нерівність можна записати як \( (x+1)^7(x-3)^5(x-2)^2\ge0\). Корені: \(-1\) і \(3\) непарної кратності, \(2\) — парної. За методом інтервалів маємо \(x\in(-\infty;-1]\cup\{2\}\cup[3;+\infty)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
26
Завдання
Одна правильна відповідь
Знайдіть найменший розв’язок нерівності \( (x+2)^2(x-1)\ge2(x+2)^2\) на проміжку \((-5;5)\).
Розв’язання
Перенесемо праву частину: \( (x+2)^2[(x-1)-2]\ge0\), тобто \( (x+2)^2(x-3)\ge0\). При \(x=-2\) добуток дорівнює нулю; для \(x\ne-2\) квадратний множник додатний, тому потрібно \(x\ge3\). На \((-5;5)\) маємо \(\{-2\}\cup[3;5)\). Найменший розв’язок — \(-2\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
27
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(|x+1|\gt1\).
Розв’язання
Для \(|u|\gt a\), де \(a\gt0\), маємо \(u\lt-a\) або \(u\gt a\). Тому \(x+1\lt-1\) або \(x+1\gt1\), звідси \(x\lt-2\) або \(x\gt0\). Отже, \(x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
28
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(|2-x|\lt3\).
Розв’язання
\(|2-x|=|x-2|\), тому \(|x-2|\lt3\iff -3\lt x-2\lt3\). Додаємо \(2\): \(-1\lt x\lt5\). Отже, \(x\in(-1;5)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
29
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(|x-1|+|x-2|\le3\).
Розв’язання
Розглянемо точки \(1\) і \(2\). Якщо \(x\le1\), то \(|x-1|+|x-2|=3-2x\le3\Rightarrow x\ge0\), тобто \([0;1]\). На \([1;2]\) сума дорівнює \(1\), тому весь проміжок підходить. Якщо \(x\ge2\), то \(|x-1|+|x-2|=2x-3\le3\Rightarrow x\le3\), тобто \([2;3]\). Разом \(x\in[0;3]\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
30
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(|2x|\ge4\).
Розв’язання
\(|2x|=2|x|\), тому \(2|x|\ge4\iff |x|\ge2\). Звідси \(x\le-2\) або \(x\ge2\). Отже, \(x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
31
Завдання
Одна правильна відповідь
Серед наведених чисел укажіть найменше, яке є розв’язком нерівності \(2x+7\gt27\).
Розв’язання
\(2x+7\gt27\Rightarrow2x\gt20\Rightarrow x\gt10\). Із наведених чисел умову задовольняють \(15\) і \(20\), найменше з них — \(15\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
32
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(2x-1\ge0\).
Розв’язання
\(2x-1\ge0\Rightarrow2x\ge1\Rightarrow x\ge\dfrac12\). Отже, \(x\in[\dfrac12;+\infty)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
33
Завдання
Одна правильна відповідь
Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності \(|-2x-3|\gt5\)?
Розв’язання
Перевіримо число \(2\): \(|-2\cdot2-3|=|-7|=7\gt5\). Отже, \(2\) є розв’язком. Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
34
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(x+3\le0\).
Розв’язання
\(x+3\le0\Rightarrow x\le-3\). Отже, \(x\in(-\infty;-3]\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
35
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(-x^2-x+6\lt0\).
Розв’язання
Помножимо на \(-1\), змінивши знак: \(x^2+x-6\gt0\). Маємо \((x+3)(x-2)\gt0\), тому добуток додатний поза коренями: \(x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
36
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(3x-7\le8\).
Розв’язання
\(3x-7\le8\Rightarrow3x\le15\Rightarrow x\le5\). Отже, \(x\in(-\infty;5]\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
37
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \((x-5)(x+2)\ge0\).
Розв’язання
Нулі множників: \(x=-2\) і \(x=5\). Добуток двох лінійних множників невід’ємний поза проміжком між коренями, включаючи корені. Тому \(x\in(-\infty;-2]\cup[5;+\infty)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
38
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \((x-2)^2\lt9\).
Розв’язання
\((x-2)^2\lt9\iff |x-2|\lt3\iff -3\lt x-2\lt3\). Додаємо \(2\): \(-1\lt x\lt5\). Отже, \(x\in(-1;5)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
39
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(|2x+1|\le5\).
Розв’язання
\(|2x+1|\le5\iff -5\le2x+1\le5\). Віднімаємо \(1\): \(-6\le2x\le4\), ділимо на \(2\): \(-3\le x\le2\). Отже, \(x\in[-3;2]\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
40
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \((x+4)(x-1)(x-3)\le0\). У відповіді запишіть суму всіх її цілих розв’язків на проміжку \([-6;4]\).
Розв’язання
Критичні точки: \(-4,1,3\). Для кубічного многочлена зі старшим коефіцієнтом \(1\) знак чергується, тому \((x+4)(x-1)(x-3)\le0\) при \(x\in(-\infty;-4]\cup[1;3]\). На \([-6;4]\) цілі розв’язки: \(-6,-5,-4,1,2,3\). Їх сума: \(-6-5-4+1+2+3=-9\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
