Geben Sie den kleinsten Wert von \(a\) an, für den die Gleichung \(\dfrac{x^2-x+a}{2x+3}=0\) genau eine Lösung hat.
Lösung
Es muss \(x^2-x+a=0\) gelten, wobei \(x\ne-\dfrac32\). Genau eine zulässige Lösung entsteht in zwei Fällen. Bei einer Doppelwurzel gilt \(1-4a=0\), also \(a=\dfrac14\). Oder die quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen, von denen eine der ausgeschlossene Wert \(-\dfrac32\) ist. Einsetzen ergibt \(\dfrac94+\dfrac32+a=0\), also \(a=-\dfrac{15}{4}=-3{,}75\). Das ist kleiner als \(\dfrac14\).
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Raster
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2
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wählen Sie die Gleichung, deren Lösung die Zahl \(2\) ist.
Lösung
Wir setzen \(x=2\) ein. In \(\dfrac{3x-6}{x}=0\) wird der Zähler null, während der Nenner ungleich null ist: \(\dfrac{3\cdot2-6}{2}=0\). Antwort: D.
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3
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2-3x}\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne0\), \(x\ne\dfrac23\). Kreuzmultiplikation ergibt \(2-3x=2x\), also \(5x=2\) und \(x=0{,}4\). Der Wert ist zulässig. Antwort: D.
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4
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{4}{|x|}=3\).
Lösung
Aus \(\dfrac{4}{|x|}=3\) folgt \(3|x|=4\), also \(|x|=\dfrac43\). Daher \(x=\pm\dfrac43\). Antwort: E.
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5
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie das Intervall an, in dem die Lösung der Gleichung \(\dfrac{3x-2}{x+1}=7\) liegt.
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne-1\). Es gilt \(3x-2=7(x+1)\), also \(3x-2=7x+7\), \(-9=4x\), \(x=-\dfrac94=-2{,}25\). Damit liegt die Lösung in \((-\infty;-2)\). Antwort: A.
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6
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}\). Geben Sie die Summe der ganzzahligen Lösungen an.
Lösung
Nach dem Beseitigen der Nenner faktorisiert der Zähler zu \((x-3)(x-5)(x^2-18x+15)=0\). Die Lösungen sind \(3\), \(5\), \(9\pm\sqrt{66}\); keine davon ist durch die Nenner ausgeschlossen. Ganzzahlig sind nur \(3\) und \(5\), ihre Summe ist \(8\).
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7
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{2}{x^2-4}+\dfrac{x-4}{x^2+2x}=\dfrac{1}{x^2-2x}\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne-2,0,2\). Mit \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), \(x^2+2x=x(x+2)\) und \(x^2-2x=x(x-2)\) ergibt die Multiplikation mit dem Hauptnenner \(2x+(x-4)(x-2)=x+2\). Daraus folgt \(x^2-5x+6=0\), also \(x=2\) oder \(x=3\). \(x=2\) ist ausgeschlossen, daher \(x=3\). Antwort: A.
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8
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{x^2+1}{x}+\dfrac{x}{x^2+1}=-2{,}5\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne0\). Setzen wir \(t=\dfrac{x^2+1}{x}\). Dann ist \(\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac1t\), also \(t+\dfrac1t=-\dfrac52\). Daraus folgt \(2t^2+5t+2=0\), somit \(t=-\dfrac12\) oder \(t=-2\). Der erste Wert liefert kein reelles \(x\); aus \(\dfrac{x^2+1}{x}=-2\) folgt \((x+1)^2=0\), also \(x=-1\). Antwort: B.
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9
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{13x}{3x^2-5x+2}-\dfrac{12x}{3x^2+x+2}=5\). Geben Sie die größte Lösung an.
Lösung
Nach dem Zusammenfassen auf einen gemeinsamen Nenner faktorisiert der Zähler als \((x-2)(3x-1)(15x^2+14x+10)\). Der quadratische Faktor hat keine reellen Nullstellen. Es bleiben \(x=2\) und \(x=\dfrac13\), beide sind zulässig. Die größte Lösung ist \(2\).
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10
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\dfrac{12x}{3x^2-10x+1}-\dfrac1x=3x-6\). Geben Sie den Kehrwert des Produkts aller Lösungen an.
Lösung
Nach dem Zusammenfassen erhält man \((x-1)(3x-1)(3x^2-12x+1)=0\). Alle gefundenen Lösungen sind zulässig. Das Produkt der Lösungen aus den ersten beiden Faktoren ist \(1\cdot\dfrac13\); für \(3x^2-12x+1=0\) ist das Wurzelprodukt nach Vieta \(\dfrac13\). Insgesamt ergibt sich \(\dfrac19\); der Kehrwert ist \(9\).
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11
Aufgabe
Eine richtige Antwort
In welchem der angegebenen Intervalle liegt die Lösung der Gleichung \(\dfrac{x}{9-x}=\dfrac12\)?
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne9\). Aus \(2x=9-x\) folgt \(3x=9\), also \(x=3\). Damit liegt die Lösung in \((2;5]\). Antwort: D.
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12
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie das Intervall an, in dem die Lösung der Gleichung \(\dfrac{x}{18-2x}=\dfrac14\) liegt.
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne9\). Aus der Proportion folgt \(4x=18-2x\), also \(6x=18\) und \(x=3\). Die Lösung liegt in \([0;4)\). Antwort: C.
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13
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie alle Werte von \(a\), für die die Gleichung \(\dfrac{x^2-ax+4}{x-5}=0\) genau eine Lösung hat. Gibt es mehrere solche Werte, geben Sie ihr Produkt an.
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne5\). The numerator gives \(x^2-ax+4=0\). Exactly one admissible root occurs when \(D=0\), giving \(a=\pm4\), or when one of two roots equals the excluded value \(5\): \(25-5a+4=0\), so \(a=\dfrac{29}{5}=5{,}8\). The product is \(-92{,}8\).
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14
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie alle Werte von \(a\), für die die Gleichung \(\dfrac{x^2-4x+3}{3x-a}=\dfrac{42+3x-x^2}{3x-a}\) genau eine Lösung hat. Gibt es mehrere Werte, geben Sie ihre Summe an.
Lösung
Definitionsbereich: \(3x-a\ne0\). Equating the numerators gives \(2x^2-7x-39=0\), so \(x_1=6{,}5\) and \(x_2=-3\). Exactly one root remains if the denominator vanishes at one of them: \(a=19{,}5\) or \(a=-9\). Their sum is \(10{,}5\).
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15
Aufgabe
Numerische Antwort
Zwei Arbeiter können gemeinsam eine Fläche in \(2\) Stunden \(6\) Minuten mähen. Wie viele Stunden benötigt der zweite Arbeiter allein, wenn er dafür \(4\) Stunden länger braucht als der erste?
Lösung
Sei \(x\) die Arbeitszeit des ersten Arbeiters, dann braucht der zweite \(x+4\) Stunden. \(2\) h \(6\) min sind \(\dfrac{21}{10}\) h. Daher \(\dfrac1x+\dfrac1{x+4}=\dfrac{10}{21}\), also \(5x^2-x-42=0\). Die positive Lösung ist \(x=3\); der zweite braucht \(7\) Stunden.
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16
Aufgabe
Numerische Antwort
Ein Bus fährt von Stadt \(A\) nach Stadt \(B\), die \(150\) km voneinander entfernt sind. \(30\) Minuten später fährt ein Auto dieselbe Strecke; seine Geschwindigkeit ist \(1\dfrac15\)-mal so groß wie die des Busses. Wie viele Stunden braucht das Auto, wenn beide gleichzeitig ankommen?
Lösung
Sei \(x\) die Busgeschwindigkeit; dann fährt das Auto mit \(1{,}2x\). Die Zeitdifferenz beträgt \(0{,}5\) h: \(\dfrac{150}{x}-\dfrac{150}{1{,}2x}=\dfrac12\). Daraus folgt \(x=50\) km/h; das Auto fährt \(60\) km/h und braucht \(150:60=2{,}5\) h.
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17
Aufgabe
Numerische Antwort
Mit dem ersten Rohr wird ein leeres Becken \(40\) Minuten schneller gefüllt als mit dem zweiten. Wie viele Minuten benötigt das erste Rohr allein, wenn beide Rohre zusammen das Becken in \(21\) Minuten füllen?
Lösung
Das zweite Rohr benötigt \(x\) Minuten, das erste \(x-40\). Dann \(\dfrac1{x-40}+\dfrac1x=\dfrac1{21}\). Daraus folgt \(x^2-82x+840=0\), also \(x=12\) oder \(70\). Sinnvoll ist \(x=70\); das erste Rohr braucht \(30\) Minuten.
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18
Aufgabe
Numerische Antwort
Auf einer \(240\) km langen Strecke fuhr ein Zug \(10\) km/h langsamer als laut Fahrplan und verspätete sich um \(48\) Minuten. Mit welcher Geschwindigkeit (in km/h) sollte er laut Fahrplan fahren?
Lösung
Die Sollgeschwindigkeit sei \(x\) km/h, tatsächlich fährt der Zug \(x-10\). \(48\) Minuten sind \(\dfrac45\) h, also \(\dfrac{240}{x-10}-\dfrac{240}{x}=\dfrac45\). Daraus folgt \(x^2-10x-3000=0\) mit \(x=-50\) oder \(60\). Zulässig ist \(60\) km/h.
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19
Aufgabe
Numerische Antwort
In einer Werkstatt sollten \(240\) Stühle in \(n\) Tagen mit gleicher Tagesleistung hergestellt werden. Der Auftrag wurde \(2\) Tage früher beendet, indem die Tagesleistung um \(4\) Stühle erhöht wurde. Bestimmen Sie \(n\).
Lösung
Geplante Tagesleistung: \(\dfrac{240}{n}\), tatsächliche: \(\dfrac{240}{n-2}\). Daher \(\dfrac{240}{n-2}-\dfrac{240}{n}=4\). Es folgt \(n^2-2n-120=0\), also \(n=-10\) oder \(12\). Somit \(n=12\).
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20
Aufgabe
Numerische Antwort
Ein Boot fährt \(18\) km flussaufwärts und benötigt dafür halb so viel Zeit wie für \(48\) km flussabwärts. Bestimmen Sie die Eigengeschwindigkeit des Boots (in km/h), wenn die Strömungsgeschwindigkeit \(2{,}5\) km/h beträgt.
Lösung
Die Eigengeschwindigkeit sei \(x\) km/h. Flussabwärts beträgt die Zeit \(\dfrac{48}{x+2{,}5}\), flussaufwärts \(\dfrac{18}{x-2{,}5}\). Nach der Bedingung \(\dfrac{48}{x+2{,}5}=2\cdot\dfrac{18}{x-2{,}5}\). Daraus folgt \(4(x-2{,}5)=3(x+2{,}5)\) und \(x=17{,}5\).
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