Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{4}{x}\ge 1\). Geben Sie als Antwort die Summe aller ganzzahligen Lösungen an.
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne0\), \(x\ne2\). Nach dem Zusammenfassen erhält man \(-\dfrac{(x-1)(x-8)}{x(x-2)}\ge0\), also \(\dfrac{(x-1)(x-8)}{x(x-2)}\le0\). Die Intervallmethode liefert \(x\in(0;1]\cup(2;8]\). Die ganzzahligen Lösungen sind \(1,3,4,5,6,7,8\); ihre Summe ist \(34\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
2
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{1}{x-5}\lt0\).
Lösung
Der Zähler ist positiv. Der Bruch ist daher genau dann negativ, wenn \(x-5\lt0\). Somit \(x\lt5\), also \(x\in(-\infty;5)\). Antwort: A.
Formen
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3
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{3x}{x+1}\lt\dfrac{7}{x+1}\).
Lösung
Wir bringen alles auf eine Seite: \(\dfrac{3x-7}{x+1}\lt0\). Kritische Punkte sind \(x=-1\) und \(x=\dfrac73\). Nach der Intervallmethode ist der Bruch auf \((-1;\dfrac73)\) negativ. Antwort: A.
Formen
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4
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{x^2+11x+30}{x^2+3x-10}\lt0\). Geben Sie die kleinste ganze Zahl an, die die Ungleichung erfüllt. Falls es keine gibt, geben Sie \(100\) ein.
Lösung
Faktorisieren: \(x^2+11x+30=(x+5)(x+6)\), \(x^2+3x-10=(x+5)(x-2)\). Definitionsbereich: \(x\ne-5\), \(x\ne2\). Es bleibt \(\dfrac{x+6}{x-2}\lt0\), wobei \(-5\) ausgeschlossen bleibt. Daher \(x\in(-6;-5)\cup(-5;2)\). Die kleinste ganzzahlige Lösung ist \(-4\).
Formen
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5
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie die größte ganzzahlige Lösung der Ungleichung \(\left|\dfrac{3x+1}{x-3}\right|\lt3\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne3\). Da beide Seiten nichtnegativ sind, dürfen wir quadrieren: \((3x+1)^2\lt9(x-3)^2\). Daraus folgt \(60x\lt80\), also \(x\lt\dfrac43\). Die größte ganzzahlige Lösung ist \(1\).
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6
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie die Anzahl aller ganzzahligen Lösungen der Ungleichung \(\dfrac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\le0\). Falls es unendlich viele ganzzahlige Lösungen gibt, geben Sie \(100\) ein.
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne-1\). Der Zähler ist \((x-4)(x+3)\). Der Nenner ist für alle zulässigen \(x\) positiv, daher gilt \((x-4)(x+3)\le0\). Somit \(x\in[-3;4]\), wobei \(-1\) ausgeschlossen ist. Es gibt \(7\) ganzzahlige Lösungen.
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7
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{(x-6)(x+2)^2}{x-3}\le0\).
Lösung
Kritische Punkte: \(-2\) ist eine Nullstelle gerader Vielfachheit, \(3\) ist ausgeschlossen, \(6\) ist eine Nullstelle des Zählers. Der Faktor \((x+2)^2\) ändert das Vorzeichen nicht. Die Lösung ist \(\{-2\}\cup(3;6]\). Antwort: A.
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8
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{(5-x)^2}{x^2+x-6}\ge0\).
Lösung
Der Nenner ist \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\), also \(x\ne-3,2\). Der Zähler \((5-x)^2\ge0\) und wird bei \(x=5\) null. Der Nenner ist positiv für \(x\lt-3\) oder \(x\gt2\). Somit \(x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\). Antwort: C.
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9
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wählen Sie die Zahl, die die Ungleichung \(\dfrac{5}{x-3}\ge1\) erfüllt.
Lösung
Wir bringen \(1\) auf die linke Seite: \(\dfrac{5}{x-3}-1=\dfrac{8-x}{x-3}\ge0\). Kritische Punkte sind \(3\) und \(8\). Die Lösung ist \(x\in(3;8]\). Von den gegebenen Zahlen passt nur \(4\). Antwort: E.
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10
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{x+3}{x-2}\gt0\).
Lösung
Kritische Punkte: \(x=-3\) ist eine Nullstelle des Zählers, \(x=2\) ist ausgeschlossen. Der Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben: \(x\lt-3\) oder \(x\gt2\). Also \(x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\). Antwort: E.
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11
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{2x-4}{x+1}\lt0\).
Lösung
\(\dfrac{2x-4}{x+1}=\dfrac{2(x-2)}{x+1}\). Kritische Punkte: \(x=-1\) ist ausgeschlossen, \(x=2\) ist eine Nullstelle des Zählers. Nach der Intervallmethode ist der Bruch auf \((-1;2)\) negativ. Antwort: C.
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12
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{x+1}{x}\le\dfrac43\).
Lösung
Wir bringen alles auf die linke Seite: \(\dfrac{x+1}{x}-\dfrac43\le0\). Daraus folgt \(\dfrac{3-x}{3x}\le0\), also \(\dfrac{x-3}{x}\ge0\), \(x\ne0\). Somit \(x\in(-\infty;0)\cup[3;+\infty)\). Antwort: A.
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13
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{x^2+64}{x-5}\gt0\).
Lösung
Für alle reellen \(x\) gilt \(x^2+64\gt0\). Daher wird das Vorzeichen des Bruchs nur durch den Nenner bestimmt. Es muss \(x-5\gt0\) gelten, also \(x\gt5\). Somit \(x\in(5;+\infty)\). Antwort: D.
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14
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(x+\dfrac{1}{x-3}\gt\dfrac{1}{x-3}-2\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne3\). Die gleichen Brüche auf beiden Seiten heben sich auf, sodass \(x\gt-2\) bleibt. Mit dem Definitionsbereich: \(x\in(-2;3)\cup(3;+\infty)\). Antwort: E.
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15
Aufgabe
Numerische Antwort
Geben Sie die kleinste ganze Zahl an, die die Ungleichung \(\dfrac{(x-3)(x+10)(x^2+8x-9)}{x^2+8x-9}\lt0\) erfüllt.
Lösung
\(x^2+8x-9=(x-1)(x+9)\), daher \(x\ne1\) und \(x\ne-9\). Im Definitionsbereich kürzt sich der gemeinsame Faktor, und es bleibt \((x-3)(x+10)\lt0\), also \(-10\lt x\lt3\). Die Werte \(-9\) und \(1\) sind ausgeschlossen. Die kleinste ganzzahlige Lösung ist \(-8\).
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16
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Lösungen der Ungleichung \(\dfrac{6-x}{3x-9}\ge0\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne3\). Kritische Punkte sind \(x=3\) und \(x=6\). Die Intervallmethode ergibt \(x\in(3;6]\). Die ganzzahligen Lösungen sind \(4,5,6\), also insgesamt \(3\). Antwort: C.
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17
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{5x+7}{x-1}\le2\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne1\). Wir bringen \(2\) auf die linke Seite: \(\dfrac{5x+7-2(x-1)}{x-1}\le0\), also \(\dfrac{x+3}{x-1}\le0\). Die Intervallmethode ergibt \(x\in[-3;1)\). Antwort: D.
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18
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{x^2-5x+4}{-x^2+6x+7}\gt0\). Geben Sie die Anzahl ihrer ganzzahligen Lösungen an.
Lösung
Faktorisieren: \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\), \(-x^2+6x+7=-(x-7)(x+1)\). Kritische Punkte: \(-1,1,4,7\). Die Intervallmethode ergibt \(x\in(-1;1)\cup(4;7)\). Die ganzzahligen Lösungen sind \(0,5,6\). Es gibt \(3\).
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19
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{x}{2x+3}\gt\dfrac1x\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\ne0\) und \(x\ne-1{,}5\). Nach dem Zusammenfassen erhält man \(\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(2x+3)}\gt0\). Kritische Punkte sind \(-1{,}5,-1,0,3\). Die Intervallmethode ergibt \((-\infty;-1{,}5)\cup(-1;0)\cup(3;+\infty)\). Antwort: E.
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20
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac{x^2-5x+6}{|x|+7}\lt0\).
Lösung
Da \(|x|+7\gt0\) für alle \(x\) gilt, wird das Vorzeichen des Bruchs durch den Zähler bestimmt. \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\lt0\). Der quadratische Ausdruck ist zwischen seinen Nullstellen negativ, also \(x\in(2;3)\). Antwort: B.
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