Thema 12 — Aufgaben

1

Aufgabe Eine richtige Antwort

Geben Sie das Intervall an, in dem die Lösung der Gleichung \(\sqrt{1-x}=4\) liegt.

А \((-20;-10)\) Б \((-10;-5)\) В \((-5;5)\) Г \((5;10)\) Д \((10;20)\)

Lösung

Quadrieren: \(1-x=16\), also \(x=-15\). Die Zahl \(-15\) liegt im Intervall \((-20;-10)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

2

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(3\sqrt[8]{2x-9}-\sqrt{4-x}=1\)?

А \(0\) Б \(1\) В \(2\) Г \(3\) Д \(4\)

Lösung

Es müssen gleichzeitig \(2x-9\ge0\) und \(4-x\ge0\) gelten. Also \(x\ge\frac92\) und \(x\le4\), was unmöglich ist. Daher gibt es keine Lösung. Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

3

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(\sqrt[3]{x-3}=\sqrt{-2-x}\)?

А \(2\) Б \(1\) В \(0\) Г \(3\) Д \(4\)

Lösung

Wegen der Quadratwurzel gilt \(x\le-2\). Dann ist \(x-3\lt0\), also \(\sqrt[3]{x-3}\lt0\), während \(\sqrt{-2-x}\ge0\). Eine Gleichheit ist unmöglich. Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

4

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}=0\).

Ihre Antwort

Lösung

Definitionsbereich: \(x\ge-3\). Setzen wir \(t=\sqrt{x+3}\ge0\), dann \(x=t^2-3\). Es folgt \(\sqrt[3]{t^2+4}=t\), also \(t^3=t^2+4\). Damit \((t-2)(t^2+t+2)=0\). Der einzige nichtnegative Wert ist \(t=2\), daher \(x=1\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

5

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\sqrt[3]{x+3}+\sqrt{5-x}=2\). Geben Sie die Summe der Lösungen an.

Ihre Antwort

Lösung

Seien \(a=\sqrt[3]{x+3}\) und \(b=\sqrt{5-x}\ge0\). Dann gilt \(a+b=2\) und \(a^3+b^2=8\). Mit \(b=2-a\) erhält man \(a^3+a^2-4a-4=0\), also \((a+1)(a-2)(a+2)=0\). Daraus folgen \(x=-4,5,-11\). Ihre Summe ist \(-10\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

6

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\sqrt{x-2}\sqrt{2x+1}=\sqrt3\). Gibt es genau eine Lösung, geben Sie diese an; bei mehreren Lösungen deren Produkt; bei keiner Lösung \(100\).

Ihre Antwort

Lösung

Definitionsbereich: \(x\ge2\). Quadrieren liefert \((x-2)(2x+1)=3\), also \(2x^2-3x-5=0\). Die Lösungen sind \(x_1=2{,}5\) und \(x_2=-1\); \(-1\) liegt nicht im Definitionsbereich. Antwort: \(2{,}5\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

7

Aufgabe Eine richtige Antwort

In welchem der angegebenen Intervalle liegt die Lösung der Gleichung \(\sqrt[3]{2x}=-3\)?

А \((-30;-20)\) Б \((-20;-10)\) В \((-10;0)\) Г \((0;10)\) Д \((10;20)\)

Lösung

Kubieren ergibt \(2x=-27\), also \(x=-13{,}5\). Dieser Wert liegt im Intervall \((-20;-10)\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

8

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wenn \(\sqrt{x}+y=5\) und \(2\sqrt{x}-y=7\), dann ist \(y\) gleich:

А \(-2\) Б \(-1\) В \(3\) Г \(2\) Д \(1\)

Lösung

Addieren der Gleichungen ergibt \(3\sqrt{x}=12\), also \(\sqrt{x}=4\). Aus der ersten Gleichung folgt \(y=5-4=1\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

9

Aufgabe Numerische Antwort

Der Graph der Funktion \(y=\sqrt{2x^2+x+1}\) geht durch den Punkt \((x_0;4)\), wobei \(x_0\gt0\). Berechnen Sie \(x_0\).

Ihre Antwort

Lösung

Einsetzen des Punktes ergibt \(4=\sqrt{2x_0^2+x_0+1}\). Nach dem Quadrieren: \(2x_0^2+x_0-15=0\). Die Lösungen sind \(2{,}5\) und \(-3\). Wegen \(x_0\gt0\) gilt \(x_0=2{,}5\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

10

Aufgabe Eine richtige Antwort

Geben Sie das Intervall an, in dem die Lösung der Gleichung \(\sqrt{6-4x}=4\) liegt.

А \([-3;-1)\) Б \([-1;0)\) В \([0;1)\) Г \([1;3)\) Д \([3;6)\)

Lösung

Quadrieren ergibt \(6-4x=16\). Daher \(-4x=10\) und \(x=-2{,}5\). Dieser Wert liegt in \([-3;-1)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

11

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0\). Falls die Gleichung mehrere Lösungen hat, geben Sie deren Produkt an.

Ihre Antwort

Lösung

Es gilt \(\sqrt{2x^2-14x+13}=5-x\), also muss \(x\le5\) sein. Nach dem Quadrieren: \(2x^2-14x+13=(5-x)^2\), daraus \(x^2-4x-12=0\). Die Kandidaten sind \(6\) und \(-2\); nur \(-2\) erfüllt \(x\le5\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

12

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Gleichung \((x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0\). Geben Sie die Summe der Lösungen an.

Ihre Antwort

Lösung

Definitionsbereich: \(-15+8x-x^2\ge0\), also \(x\in[3;5]\). Das Produkt ist null, wenn \(x^2-9=0\) oder \(-15+8x-x^2=0\). Im Definitionsbereich erhält man \(x=3\) und \(x=5\). Ihre Summe ist \(8\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

13

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(4\sqrt{x}=1\).

А \(\dfrac12\) Б \(\dfrac18\) В \(16\) Г \(-\dfrac12;\ \dfrac12\) Д \(\dfrac1{16}\)

Lösung

\(\sqrt{x}=\dfrac14\). Nach dem Quadrieren erhält man \(x=\dfrac1{16}\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

14

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\sqrt{3x+7}=x-7\).

А \(3\) Б \(14\) В \(3;14\) Г \(-7\) Д \(6\)

Lösung

Die rechte Seite muss nichtnegativ sein, also \(x\ge7\). Quadrieren ergibt \(3x+7=(x-7)^2\), also \(x^2-17x+42=0\). Die Kandidaten sind \(3\) und \(14\); nur \(14\) erfüllt \(x\ge7\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

15

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\sqrt{x+3}+\sqrt{4x-23}-\sqrt{x+10}=0\).

А \(6\) Б \(7{,}5\) В \(4;14\) Г \(8\) Д \(5\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\ge\dfrac{23}{4}\). Nach dem Umstellen und Quadrieren erhält man \(\sqrt{(x+3)(4x-23)}=15-2x\), daher zusätzlich \(x\le7{,}5\). Erneutes Quadrieren liefert \(49x=294\), also \(x=6\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

16

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(2x^{\frac12}-5x^{\frac14}=3\).

А \(\dfrac1{16}\) Б \(-\dfrac1{16}\) В \(81\) Г \(12\) Д \(3\)

Lösung

Setzen wir \(t=x^{\frac14}\) mit \(t\ge0\). Dann ist \(x^{\frac12}=t^2\), also \(2t^2-5t-3=0\). Daraus \(t=3\) oder \(t=-\dfrac12\). Zulässig ist nur \(t=3\), daher \(x=81\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

17

Aufgabe Numerische Antwort

Für welchen größten negativen Wert des Parameters \(a\) hat die Gleichung \(\sqrt[4]{|x|-1}-2x=a\) genau eine Lösung?

Ihre Antwort

Lösung

Für negatives \(a\) können Lösungen nur auf dem Ast \(x\ge1\) liegen, wo \(f(x)=(x-1)^{1/4}-2x\). Der größte negative Wert mit genau einem Schnittpunkt ist das Maximum dieses Astes. Aus \(f'(x)=\dfrac{1}{4(x-1)^{3/4}}-2=0\) folgt \(x=\dfrac{17}{16}\). Daher \(a=f\!\left(\dfrac{17}{16}\right)=-\dfrac{13}{8}=-1{,}625\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

18

Aufgabe Numerische Antwort

Für welchen kleinsten Wert von \(a\) hat die Gleichung \(\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}+(14-2a)\sqrt[4]{x-3}+32=6a\) mindestens eine Lösung?

Ihre Antwort

Lösung

Definitionsbereich: \(x\ge3\). Setzen wir \(t=\sqrt[4]{x-3}\ge0\). Dann ist \(\sqrt{x-3}=t^2\) und \(\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}=t^2+1\). Die Gleichung wird zu \(t^2+(14-2a)t+33-6a=0\), also \((t+3)(t+11-2a)=0\). \(t=-3\) ist unzulässig, daher muss \(2a-11\ge0\) gelten. Der kleinste Wert ist \(a=5{,}5\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

19

Aufgabe Numerische Antwort

Für welchen kleinsten ganzzahligen Wert des Parameters \(a\) hat die Gleichung \(\sqrt{2x+15}\left(\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}\right)=a\sqrt{2x+15}\) genau zwei verschiedene Lösungen?

Ihre Antwort

Lösung

Definitionsbereich: \(x\ge-7{,}5\). Es gilt \(\sqrt{x^2+18x+81}=|x+9|\) und \(\sqrt{x^2-10x+25}=|x-5|\). Daher ist \(x=-7{,}5\) für jedes \(a\) eine Lösung; weitere Lösungen erfüllen \(|x+9|-|x-5|=a\). Im Definitionsbereich ist diese Funktion \(2x+4\) für \(-7{,}5\le x\le5\) und \(14\) für \(x\ge5\). Genau eine zusätzliche Lösung gibt es für \(-11\lt a\lt14\). Der kleinste ganzzahlige Wert ist \(-10\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

20

Aufgabe Numerische Antwort

Bestimmen Sie den kleinsten ganzzahligen Wert des Parameters \(a\), für den die Gleichung \(\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x^2-9x+20}=\sqrt{a}\,\sqrt{x-5}\) zwei Lösungen hat.

Ihre Antwort

Lösung

Der Definitionsbereich ergibt \(x\ge5\) und \(a\ge0\). \(x=5\) ist für jedes zulässige \(a\) eine Lösung. Für \(x\gt5\) teilen wir durch \(\sqrt{x-5}\) und erhalten \(\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt a\). Die linke Seite ist streng wachsend und nähert sich für \(x\to5+\) dem Wert \(\sqrt5+1\). Eine zweite Lösung existiert genau dann, wenn \(a\gt6+2\sqrt5\approx10{,}47\). Der kleinste ganzzahlige Wert ist \(11\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

Irrationale Gleichungen