Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{4}{x}\ge 1\). У відповідь запишіть суму всіх цілих її розв’язків.
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne0\), \(x\ne2\). Перенесемо все вліво: \(\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{4}{x}-1\ge0\). Після зведення до спільного знаменника маємо \(-\dfrac{(x-1)(x-8)}{x(x-2)}\ge0\), тобто \(\dfrac{(x-1)(x-8)}{x(x-2)}\le0\). Метод інтервалів дає \(x\in(0;1]\cup(2;8]\). Цілі розв’язки: \(1,3,4,5,6,7,8\); їх сума дорівнює \(34\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
2
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{1}{x-5}\lt0\).
Розв’язання
Чисельник додатний, тому дріб від’ємний тоді й лише тоді, коли \(x-5\lt0\). Отже, \(x\lt5\), тобто \(x\in(-\infty;5)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Переносимо все в одну частину: \(\dfrac{3x-7}{x+1}\lt0\). Критичні точки: \(x=-1\) та \(x=\dfrac73\). За методом інтервалів дріб від’ємний на \((-1;\dfrac73)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{x^2+11x+30}{x^2+3x-10}\lt0\). У відповідь запишіть найменше ціле число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа немає, запишіть \(100\).
Розв’язання
Розкладемо на множники: \(x^2+11x+30=(x+5)(x+6)\), \(x^2+3x-10=(x+5)(x-2)\). ОДЗ: \(x\ne-5\), \(x\ne2\). Маємо \(\dfrac{x+6}{x-2}\lt0\), але точка \(-5\) залишається виключеною. Отже, \(x\in(-6;-5)\cup(-5;2)\). Найменший цілий розв’язок — \(-4\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
5
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності \(\left|\dfrac{3x+1}{x-3}\right|\lt3\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne3\). Оскільки обидві частини невід’ємні, можна піднести до квадрата: \((3x+1)^2\lt9(x-3)^2\). Після скорочення маємо \(60x\lt80\), тобто \(x\lt\dfrac43\). Найбільший цілий розв’язок — \(1\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
6
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності \(\dfrac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\le0\). Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, у відповідь запишіть \(100\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne-1\). Чисельник: \(x^2-x-12=(x-4)(x+3)\). Знаменник додатний для всіх допустимих \(x\), тому потрібно \((x-4)(x+3)\le0\), звідки \(x\in[-3;4]\), але \(x=-1\) виключаємо. Цілі розв’язки: \(-3,-2,0,1,2,3,4\). Їх \(7\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Критичні точки: \(-2\) — нуль парної кратності, \(3\) — заборонене значення, \(6\) — нуль чисельника. Множник \((x+2)^2\) знак не змінює. Метод інтервалів дає \(\{-2\}\cup(3;6]\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Знаменник \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\), тому \(x\ne-3,2\). Чисельник \((5-x)^2\ge0\) і дорівнює нулю при \(x=5\). Для додатного дробу знаменник має бути додатним, тобто \(x\lt-3\) або \(x\gt2\). Отже, \(x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
9
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть число, що є розв’язком нерівності \(\dfrac{5}{x-3}\ge1\).
Розв’язання
Переносимо \(1\) вліво: \(\dfrac{5}{x-3}-1=\dfrac{8-x}{x-3}\ge0\). Критичні точки: \(3\) і \(8\). Розв’язок: \(x\in(3;8]\). Із запропонованих чисел належить цьому проміжку лише \(4\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{x+3}{x-2}\gt0\).
Розв’язання
Критичні точки: \(x=-3\) — нуль чисельника, \(x=2\) — заборонене значення. Дріб додатний, коли чисельник і знаменник мають однакові знаки: \(x\lt-3\) або \(x\gt2\). Отже, \(x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
11
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{2x-4}{x+1}\lt0\).
Розв’язання
\(\dfrac{2x-4}{x+1}=\dfrac{2(x-2)}{x+1}\). Критичні точки: \(x=-1\) — заборонене значення, \(x=2\) — нуль чисельника. За методом інтервалів дріб від’ємний на \((-1;2)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Перенесемо все вліво: \(\dfrac{x+1}{x}-\dfrac43\le0\). Маємо \(\dfrac{3(x+1)-4x}{3x}\le0\), тобто \(\dfrac{3-x}{3x}\le0\), або \(\dfrac{x-3}{x}\ge0\), \(x\ne0\). Отже, \(x\in(-\infty;0)\cup[3;+\infty)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Для всіх дійсних \(x\) маємо \(x^2+64\gt0\). Тому знак дробу визначається знаменником. Потрібно \(x-5\gt0\), звідки \(x\gt5\). Отже, \(x\in(5;+\infty)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
ОДЗ: \(x\ne3\). Однакові дроби в обох частинах скорочуються, і маємо \(x\gt-2\). З урахуванням ОДЗ: \(x\in(-2;3)\cup(3;+\infty)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
15
Завдання
Числова відповідь
Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності \(\dfrac{(x-3)(x+10)(x^2+8x-9)}{x^2+8x-9}\lt0\).
Розв’язання
\(x^2+8x-9=(x-1)(x+9)\), тому \(x\ne1\), \(x\ne-9\). На ОДЗ спільний множник скорочується, і маємо \((x-3)(x+10)\lt0\), звідки \(-10\lt x\lt3\). Виключаємо \(-9\) і \(1\). Найменший цілий розв’язок — \(-8\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
16
Завдання
Одна правильна відповідь
Визначте кількість цілих розв’язків нерівності \(\dfrac{6-x}{3x-9}\ge0\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne3\). Нулі та розрив: \(x=6\) і \(x=3\). За методом інтервалів \(\dfrac{6-x}{3x-9}\ge0\) при \(x\in(3;6]\). Цілі розв’язки: \(4,5,6\), їх кількість — \(3\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{5x+7}{x-1}\le2\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne1\). Переносимо \(2\) вліво: \(\dfrac{5x+7-2(x-1)}{x-1}\le0\), тобто \(\dfrac{3x+9}{x-1}\le0\), або \(\dfrac{x+3}{x-1}\le0\). Метод інтервалів дає \(x\in[-3;1)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{x^2-5x+4}{-x^2+6x+7}\gt0\). У відповідь запишіть кількість її цілих розв’язків.
Розв’язання
Розкладемо на множники: \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\), \(-x^2+6x+7=-(x-7)(x+1)\). Критичні точки: \(-1,1,4,7\). Метод інтервалів дає \(x\in(-1;1)\cup(4;7)\). Цілі розв’язки: \(0,5,6\). Їх кількість — \(3\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
ОДЗ: \(x\ne0\), \(2x+3\ne0\), тобто \(x\ne-1{,}5\). Перенесемо все вліво: \(\dfrac{x}{2x+3}-\dfrac1x\gt0\). Після зведення до спільного знаменника: \(\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(2x+3)}\gt0\). Критичні точки: \(-1{,}5,-1,0,3\). Метод інтервалів дає \((-\infty;-1{,}5)\cup(-1;0)\cup(3;+\infty)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Оскільки \(|x|+7\gt0\) для всіх \(x\), знак дробу визначається чисельником. Маємо \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\lt0\). Квадратний тричлен від’ємний між коренями, тому \(x\in(2;3)\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
