Thema 17 — Aufgaben

1

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(2^x\le3\).

А \((-\infty;\log_2 3]\) Б \((0;\log_2 3]\) В \((-\infty;\dfrac32]\) Г \((-\infty;\log_3 2]\) Д \([\log_2 3;+\infty)\)

Lösung

Da \(2^x\) streng wächst, ist \(2^x\le3\) äquivalent zu \(x\le\log_2 3\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

2

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\lg\dfrac4{2x-3}\ge0\). Geben Sie die größte Lösung an. Falls keine größte Lösung existiert, geben Sie \(100\) ein.

Ihre Antwort

Lösung

Da \(\lg t\ge0\) für \(t\ge1\) gilt, erhalten wir \(\dfrac4{2x-3}\ge1\) und zusätzlich \(2x-3\gt0\). Also \(0\lt2x-3\le4\), daher \(1{,}5\lt x\le3{,}5\). Die größte Lösung ist \(3{,}5\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

3

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_3x\lt-1\).

А \((\dfrac13;+\infty)\) Б \((-\infty;\dfrac13)\) В \((-\dfrac13;0)\) Г \((0;\dfrac13)\) Д \((-\infty;-3)\)

Lösung

\(-1=\log_3\dfrac13\). Da die Basis größer als \(1\) ist, folgt unter Beachtung von \(x\gt0\): \(0\lt x\lt\dfrac13\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

4

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{\frac15}x\gt2\).

А \((-\infty;\dfrac1{25})\) Б \((\dfrac1{25};+\infty)\) В \((0;\dfrac1{25})\) Г \((10;+\infty)\) Д \((-\infty;\dfrac1{10})\)

Lösung

\(2=\log_{1/5}\dfrac1{25}\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt \(x\lt\dfrac1{25}\). Mit \(x\gt0\): \(x\in(0;\dfrac1{25})\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

5

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(x^2+2^{\log_2(-2x)}-15\lt0\). Geben Sie die Summe aller ganzzahligen Lösungen an.

Ihre Antwort

Lösung

Definitionsbereich: \(x\lt0\). Dann ist \(2^{\log_2(-2x)}=-2x\), also \((x+3)(x-5)\lt0\). Daraus \(-3\lt x\lt5\). Mit dem Definitionsbereich: \(-3\lt x\lt0\). Die ganzzahligen Lösungen sind \(-2,-1\), Summe \(-3\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

6

Aufgabe Numerische Antwort

Bestimmen Sie die Anzahl aller ganzzahligen Lösungen der Ungleichung \(\log_{\frac14}(x^2+6x)\ge-2\). Falls es unendlich viele gibt, geben Sie \(100\) ein.

Ihre Antwort

Lösung

Definitionsbereich: \(x^2+6x\gt0\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt zusätzlich \(x^2+6x\le16\). Somit \(0\lt x^2+6x\le16\), also \(x\in[-8;-6)\cup(0;2]\). Die ganzzahligen Lösungen sind \(-8,-7,1,2\), insgesamt \(4\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

7

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{0{,}5}(x-1)\gt2\).

А \((1;1{,}25)\) Б \((2;+\infty)\) В \((1{,}25;+\infty)\) Г \((0;0{,}25)\) Д \((-\infty;1{,}25)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt1\). Da die Basis \(0{,}5\lt1\) ist, folgt aus \(\log_{0{,}5}(x-1)\gt2\): \(x-1\lt0{,}25\). Somit \(1\lt x\lt1{,}25\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

8

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(3+\log_2x\ge0\).

А \([\dfrac18;+\infty)\) Б \((0;\dfrac18]\) В \((-\infty;\dfrac18]\) Г \([8;+\infty)\) Д \([-6;+\infty)\)

Lösung

\(3+\log_2x\ge0\) ist äquivalent zu \(\log_2x\ge-3=\log_2\dfrac18\). Daher \(x\ge\dfrac18\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

9

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{0{,}1}10\lt\log_{0{,}1}x\).

А \((10;+\infty)\) Б \((0;10)\) В \((0{,}1;10)\) Г \((-10;0)\) Д \((-\infty;10)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt0\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, kehrt sich die Ordnung um: \(10\gt x\). Daher \(0\lt x\lt10\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

10

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{0{,}5}5\lt\log_{0{,}5}x\).

А \((-5;0)\) Б \((0;5)\) В \((5;+\infty)\) Г \((0{,}5;5)\) Д \((-\infty;5)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt0\). Da die Basis \(0{,}5\lt1\) ist, folgt \(5\gt x\). Somit \(x\in(0;5)\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

11

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{0{,}7}x\gt1\).

А \((0{,}7;+\infty)\) Б \((-\infty;0{,}7)\) В \((1;+\infty)\) Г \((0{,}7;1)\) Д \((0;0{,}7)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt0\). Da die Basis \(0{,}7\lt1\) ist, ist die Funktion fallend. Aus \(\log_{0{,}7}x\gt\log_{0{,}7}0{,}7\) folgt \(x\lt0{,}7\). Somit \(x\in(0;0{,}7)\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

12

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{0{,}9}(3x)\gt2\).

А \((-\infty;0{,}27)\) Б \((-\infty;0{,}6)\) В \((0{,}27;+\infty)\) Г \((0{,}6;+\infty)\) Д \((0;0{,}27)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt0\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt aus \(\log_{0{,}9}(3x)\gt2\): \(3x\lt0{,}81\), also \(x\lt0{,}27\). Somit \(x\in(0;0{,}27)\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

13

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{0{,}3}(x+3)\gt\log_{0{,}3}4\).

А \((1;+\infty)\) Б \((7;+\infty)\) В \((-\infty;1)\) Г \((0;1)\) Д \((-3;1)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt-3\). Da \(0{,}3\lt1\), ist die Funktion fallend, daher \(x+3\lt4\), also \(x\lt1\). Somit \(x\in(-3;1)\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

14

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{0{,}2}(x+4)\gt\log_{0{,}2}5\).

А \((1;+\infty)\) Б \((-\infty;1)\) В \((-4;1)\) Г \((9;+\infty)\) Д \((0;1)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt-4\). Da die Basis kleiner als \(1\) ist, folgt \(x+4\lt5\), also \(x\lt1\). Somit \(x\in(-4;1)\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

15

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_3(1-2x)\lt2\).

А \((0;\dfrac12)\) Б \((-4;\dfrac12)\) В \((\dfrac12;+\infty)\) Г \((-4;0)\) Д \((-\infty;-4)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\lt\dfrac12\). Da \(3\gt1\), folgt \(1-2x\lt9\), also \(x\gt-4\). Daher \(x\in(-4;\dfrac12)\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

16

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie mithilfe der Abbildung die Ungleichung \(\log_2x\lt b\).

А \((0;2^b)\) Б \((0;b)\) В \((-\infty;2^b)\) Г \((\log_2b;+\infty)\) Д \((-\infty;b)\)

Lösung

Die Funktion \(y=\log_2x\) ist wachsend. Die Gerade \(y=b\) schneidet den Graphen bei \(x=2^b\). Unterhalb der Geraden liegt der Graph für \(0\lt x\lt2^b\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

17

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_3(2x-1)\lt2\).

А \((0{,}5;5)\) Б \((-\infty;3{,}5)\) В \((0{,}5;3{,}5)\) Г \((-\infty;5)\) Д \((0{,}5;+\infty)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt0{,}5\). Da \(3\gt1\), folgt \(2x-1\lt9\), also \(x\lt5\). Somit \(x\in(0{,}5;5)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

18

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\log_4(2x-2)\lt2\).

А \((-\infty;7)\) Б \((1;9)\) В \((1;7)\) Г \((-\infty;9)\) Д \((1;+\infty)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt1\). Da \(4\gt1\), folgt \(2x-2\lt16\), also \(x\lt9\). Somit \(x\in(1;9)\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

19

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(3+\log_2x\lt\log_2 48\).

А \((-\infty;6)\) Б \((0;16)\) В \((0;40)\) Г \((0;6)\) Д \((-\infty;40)\)

Lösung

Definitionsbereich: \(x\gt0\). Da \(3=\log_2 8\), erhalten wir \(\log_2(8x)\lt\log_2 48\). Somit \(8x\lt48\), also \(x\lt6\). Daher \(x\in(0;6)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

20

Aufgabe Zuordnung

Lösen Sie die Ungleichungen (1–4) und ordnen Sie jeder die passende Lösungsmenge (A–E) zu.

А \((-\infty;2)\) Б \((-2;2)\) В \((0;2)\) Г \((-\infty;-2)\) Д \((2;+\infty)\)

1. \(5^{x-2}\gt1\) 2. \(-\dfrac2{x+2}\gt0\) 3. \(\log_2x\lt1\) 4. \(x^2\lt4\)

Lösung

1) \(x\gt2\) — E. 2) \(x\lt-2\) — D. 3) \(0\lt x\lt2\) — C. 4) \(-2\lt x\lt2\) — B. Somit: **1–E, 2–D, 3–C, 4–B**.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

Logarithmische Ungleichungen