Thema 18 — Aufgaben

1

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\tan(3x)=\sqrt3\).

А \(x=\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=\dfrac\pi9+\dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\dfrac\pi9+\dfrac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=\dfrac\pi9+\pi n,\ n\in\mathbb Z\)

Lösung

Aus \(\tan t=\sqrt3\) folgt \(t=\dfrac\pi3+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\). Daher \(3x=\dfrac\pi3+\pi n\) und somit \(x=\dfrac\pi9+\dfrac{\pi n}{3}\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

2

Aufgabe Eine richtige Antwort

Welche der folgenden Gleichungen hat keine reelle Lösung?

А \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) Б \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) В \(\mathrm{ctg}\,x=-\dfrac2{\sqrt3}\) Г \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac2{\sqrt3}\) Д \(\cos x=\dfrac2{\sqrt3}\)

Lösung

Die Gleichungen \(\sin x=a\) und \(\cos x=a\) besitzen nur für \(|a|\le1\) reelle Lösungen. Tangens und Kotangens können jeden reellen Wert annehmen. Da \(\dfrac2{\sqrt3}\gt1\), hat \(\cos x=\dfrac2{\sqrt3}\) keine reelle Lösung. Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

3

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(3\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=\sqrt3\).

А \(x=\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=\dfrac\pi6+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\pm\dfrac\pi6+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=\dfrac\pi9+\dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z\)

Lösung

Da \(\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x\), erhalten wir \(\tan x=\dfrac{\sqrt3}{3}\). Daher \(x=\dfrac\pi6+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

4

Aufgabe Eine richtige Antwort

Geben Sie die kleinste positive Lösung der Gleichung \(\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=0\) an.

А \(\dfrac\pi6\) Б \(\dfrac\pi2\) В \(\dfrac{2\pi}{3}\) Г \(\pi\) Д \(\dfrac{5\pi}{3}\)

Lösung

\(\sin t=0\) für \(t=\pi n\). Daher \(x=-\dfrac\pi3+\pi n\). Für \(n=1\) erhält man die kleinste positive Lösung \(x=\dfrac{2\pi}{3}\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

5

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(2\sin x=1\).

А \(x=\pm\dfrac\pi6+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=(-1)^n\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=(-1)^n\dfrac\pi6+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\)

Lösung

Es gilt \(\sin x=\dfrac12\). Mit der allgemeinen Formel \(x=(-1)^n\arcsin a+\pi n\) und \(\arcsin\dfrac12=\dfrac\pi6\) folgt \(x=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

6

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\tan\dfrac x2=\sqrt3\).

А \(x=\dfrac\pi6\) Б \(x=\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д інша відповідь

Lösung

Aus \(\tan t=\sqrt3\) folgt \(t=\dfrac\pi3+\pi n\). Daher \(\dfrac x2=\dfrac\pi3+\pi n\) und \(x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

7

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wenn \(2\cos a-5\sin a=0\), dann ist \(\tan a=\)

А \(\dfrac25\) Б \(-\dfrac25\) В \(-3\) Г \(-\dfrac52\) Д \(\dfrac52\)

Lösung

Aus \(2\cos a=5\sin a\) folgt nach Division durch \(5\cos a\): \(\tan a=\dfrac25\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

8

Aufgabe Eine richtige Antwort

Bestimmen Sie die kleinste positive Lösung der Gleichung \(2\sin x=-1\).

А \(\dfrac\pi6\) Б \(\dfrac\pi3\) В \(\dfrac{5\pi}{6}\) Г \(\dfrac{5\pi}{3}\) Д \(\dfrac{7\pi}{6}\)

Lösung

Es gilt \(\sin x=-\dfrac12\). Im Intervall \((0;2\pi)\) sind die Lösungen \(\dfrac{7\pi}{6}\) und \(\dfrac{11\pi}{6}\). Die kleinste positive Lösung ist \(\dfrac{7\pi}{6}\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

9

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\cos(3x)=\dfrac12\).

А \(x=\pm\dfrac\pi9+\dfrac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z\) Б \(x=(-1)^k\pi+3\pi k,\ k\in\mathbb Z\) В \(x=\pm\pi+6\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Г \(x=(-1)^k\dfrac\pi9+\dfrac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z\) Д \(x=\pm\dfrac\pi9+\dfrac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z\)

Lösung

Aus \(\cos t=\dfrac12\) folgt \(t=\pm\dfrac\pi3+2\pi k\). Daher \(x=\pm\dfrac\pi9+\dfrac{2\pi k}{3}\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

10

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\sin x-\sqrt3\cos x=0\).

А \(x=-\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=-\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=\dfrac\pi2+\pi n,\ n\in\mathbb Z\)

Lösung

Aus \(\sin x=\sqrt3\cos x\) folgt nach Division durch \(\cos x\): \(\tan x=\sqrt3\). Daher \(x=\dfrac\pi3+\pi n\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

11

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\tan\left(5x+\dfrac\pi4\right)=\sqrt3\).

А \(x=\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Б \(x=\dfrac\pi{60}+\dfrac{\pi k}{5},\ k\in\mathbb Z\) В \(x=-\dfrac\pi{60}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Г \(x=\dfrac\pi{12}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Д \(x=\dfrac\pi4+3\pi k,\ k\in\mathbb Z\)

Lösung

Für \(\tan t=\sqrt3\) gilt \(t=\dfrac\pi3+\pi k\). Daher \(5x+\dfrac\pi4=\dfrac\pi3+\pi k\), also \(x=\dfrac\pi{60}+\dfrac{\pi k}{5}\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

12

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(\cos2x=-\dfrac12\).

А \(x=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=-\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\pm\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=\pm\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\)

Lösung

Aus \(\cos t=-\dfrac12\) folgt \(t=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\). Daher \(x=\pm\dfrac\pi3+\pi n\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

13

Aufgabe Eine richtige Antwort

Bestimmen Sie die größte negative Lösung der Gleichung \(\cos3x=1\).

А \(-\dfrac\pi3\) Б \(-\pi\) В \(-\dfrac{2\pi}{3}\) Г \(\dfrac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb Z\) Д \(-\dfrac\pi2\)

Lösung

\(\cos t=1\) für \(t=2\pi k\). Daher \(x=\dfrac{2\pi k}{3}\). Für \(k=-1\) erhält man die größte negative Lösung \(-\dfrac{2\pi}{3}\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

14

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(2\sin^2x+\cos x-1=0\).

А \(x=2\pi k;\ x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Б \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z\) В \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Г \(x=2\pi k;\ x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Д \(x=2\pi k;\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\)

Lösung

Mit \(\sin^2x=1-\cos^2x\) erhält man \((2\cos x+1)(\cos x-1)=0\). Also \(\cos x=1\) oder \(\cos x=-\dfrac12\). Daher \(x=2\pi k\) oder \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

15

Aufgabe Numerische Antwort

Bestimmen Sie den größten Wert des Parameters \(a\), für den das Gleichungssystem \[\begin{cases}(2a-1)\sin x+\cos x=2,\\a\sin x+(2a-1)\cos x=a+1\end{cases}\] unendlich viele Lösungen besitzt.

Ihre Antwort

Lösung

Setzen wir \(u=\cos x\), \(v=\sin x\), sodass \(u^2+v^2=1\). Für \(a\ne1\) liefert das lineare System \(v=\dfrac3{4a-1}\), \(u=\dfrac{2a+1}{4a-1}\). Die Bedingung \(u^2+v^2=1\) führt zu \(4a^2-4a-3=0\), also \(a=1{,}5\) oder \(a=-0{,}5\). Der größte Wert ist \(1{,}5\).

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16

Aufgabe Numerische Antwort

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von \(a\), für den die Gleichung \[\frac12(\sin x+\sqrt3\cos x)=6-5a-2a^2\] Lösungen besitzt.

Ihre Antwort

Lösung

Die linke Seite ist \(\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)\). Daher existieren Lösungen genau dann, wenn \(|6-5a-2a^2|\le1\). Nach Lösung der entsprechenden beiden quadratischen Ungleichungen ist der kleinste zulässige Wert \(a=-3{,}5\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

17

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie das System \[\begin{cases}5\cos\dfrac{\pi xy}{2}=x^2-8x+21,\\y+5x-4=0.\end{cases}\] Hat es genau eine Lösung \((x_0;y_0)\), geben Sie \(x_0+y_0\) an; andernfalls die Anzahl der Lösungen.

Ihre Antwort

Lösung

Es gilt \(-5\le5\cos\dfrac{\pi xy}{2}\le5\), während \(x^2-8x+21=(x-4)^2+5\ge5\). Gleichheit ist nur bei beiden Werten \(5\) möglich, also \(x=4\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(y=-16\), und \(\cos(-32\pi)=1\). Daher ist die Lösung eindeutig und \(x_0+y_0=-12\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

18

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Gleichung \[\frac{2\cos x+1}{\sqrt{27+6x-x^2}}=0.\] Geben Sie die Anzahl aller Lösungen an. Falls es unendlich viele gibt, geben Sie \(100\) ein.

Ihre Antwort

Lösung

Wegen der Wurzel im Nenner muss \(27+6x-x^2\gt0\), also \(x\in(-3;9)\). Der Zähler ist null bei \(\cos x=-\dfrac12\), also \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\). In \((-3;9)\) liegen genau vier solcher Werte. Antwort: \(4\).

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19

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wie viele Lösungen der Gleichung \(\cos x=0\) liegen im Intervall \([0;2\pi]\)?

А жодного Б один В два Г три Д більше ніж три

Lösung

\(\cos x=0\) für \(x=\dfrac\pi2+\pi k\). Im Intervall \([0;2\pi]\) liegen \(\dfrac\pi2\) und \(\dfrac{3\pi}{2}\), also zwei Lösungen. Antwort: C.

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20

Aufgabe Eine richtige Antwort

Geben Sie eine Lösung der Gleichung \(\sin4x=-1\) an.

А \(\dfrac{3\pi}{8}\) Б \(\dfrac\pi8\) В \(\dfrac\pi4\) Г \(-\dfrac\pi4\) Д \(-\dfrac\pi2\)

Lösung

\(\sin t=-1\) für \(t=-\dfrac\pi2+2\pi n\). Daher \(x=-\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{2}\). Für \(n=1\) erhält man \(x=\dfrac{3\pi}{8}\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

Trigonometrische Gleichungen