Thema 19 — Aufgaben

1

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(2\sin2x\gt-\sqrt2\).

А \(x\in(-\dfrac\pi8+\pi k;\dfrac{3\pi}8+\pi k),\ k\in\mathbb Z\) Б \(x\in(-\dfrac\pi4+\pi k;\dfrac{3\pi}4+\pi k),\ k\in\mathbb Z\) В \(x\in(-\dfrac\pi4+2\pi k;\dfrac{3\pi}4+2\pi k),\ k\in\mathbb Z\) Г \(x\in(-\dfrac\pi8+\pi k;\dfrac{5\pi}8+\pi k),\ k\in\mathbb Z\) Д \(x\in(\dfrac\pi8+\pi k;\dfrac{5\pi}8+\pi k),\ k\in\mathbb Z\)

Lösung

Setzen wir \(t=2x\). Dann \(\sin t\gt-\dfrac{\sqrt2}{2}\), also \(t\in(-\dfrac\pi4+2\pi k;\dfrac{5\pi}4+2\pi k)\). Daher \(x\in(-\dfrac\pi8+\pi k;\dfrac{5\pi}8+\pi k)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

2

Aufgabe Eine richtige Antwort

Bestimmen Sie die Länge jedes Intervalls der Lösungsmenge der Ungleichung \(2\sin x\le1\).

А \(\dfrac{3\pi}{2}\) Б \(2\pi\) В \(\dfrac{4\pi}{3}\) Г \(\dfrac{8\pi}{3}\) Д \(\dfrac{2\pi}{3}\)

Lösung

Es gilt \(\sin x\le\dfrac12\). Die Randpunkte sind \(\dfrac\pi6\) und \(\dfrac{5\pi}{6}\). Die Länge eines Lösungsintervalls ist \(\dfrac\pi6+2\pi-\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{3}\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

3

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\cos\pi x\gt\dfrac12\).

А \(x\in(-\dfrac13+2k;\dfrac13+2k),\ k\in\mathbb Z\) Б \(x\in(-\dfrac13+k;\dfrac13+k),\ k\in\mathbb Z\) В \(x\in(\dfrac13+2k;\dfrac73+2k),\ k\in\mathbb Z\) Г \(x\in(-\dfrac12+2k;\dfrac12+2k),\ k\in\mathbb Z\) Д \(x\in(-1+2k;1+2k),\ k\in\mathbb Z\)

Lösung

Mit \(t=\pi x\) gilt \(\cos t\gt\dfrac12\) für \(t\in(-\dfrac\pi3+2\pi k;\dfrac\pi3+2\pi k)\). Daher \(x\in(-\dfrac13+2k;\dfrac13+2k)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

4

Aufgabe Eine richtige Antwort

Bestimmen Sie die Länge jedes Intervalls der Lösungsmenge von \(\cos^2\dfrac x2-\sin^2\dfrac x2\le-\dfrac{\sqrt3}{2}\).

А \(\dfrac\pi3\) Б \(\dfrac\pi6\) В \(\dfrac{5\pi}{6}\) Г \(\dfrac{7\pi}{3}\) Д \(\dfrac{2\pi}{3}\)

Lösung

Mit der Doppelwinkelformel wird die Ungleichung zu \(\cos x\le-\dfrac{\sqrt3}{2}\). Das Lösungsintervall ist \([\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{7\pi}{6}]\), dessen Länge \(\dfrac\pi3\) ist. Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

5

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\sin^2x\gt\dfrac14\).

А \(x\in(\dfrac\pi6+\pi k;\dfrac{5\pi}{6}+\pi k),\ k\in\mathbb Z\) Б \(x\in(-\dfrac\pi6+2\pi k;\dfrac\pi6+2\pi k),\ k\in\mathbb Z\) В \(x\in(-\dfrac\pi6+\pi k;\dfrac{7\pi}{6}+\pi k),\ k\in\mathbb Z\) Г \(x\in(-\dfrac\pi6+\pi k;\dfrac\pi6+\pi k),\ k\in\mathbb Z\) Д \(x\in(\dfrac\pi6+2\pi k;\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k),\ k\in\mathbb Z\)

Lösung

\(\sin^2x\gt\dfrac14\) ist äquivalent zu \(|\sin x|\gt\dfrac12\). Wegen der Periode \(\pi\) gilt \(x\in(\dfrac\pi6+\pi k;\dfrac{5\pi}{6}+\pi k)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

6

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\cos^2x\le\dfrac14\).

А \(x\in[-\dfrac\pi3+\pi k;\dfrac\pi3+\pi k],\ k\in\mathbb Z\) Б \(x\in[\dfrac\pi3+\pi k;\dfrac{2\pi}{3}+\pi k],\ k\in\mathbb Z\) В \(x\in(-\dfrac\pi3+2\pi k;\dfrac\pi3+2\pi k),\ k\in\mathbb Z\) Г \(x\in[\dfrac\pi3+2\pi k;\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k],\ k\in\mathbb Z\) Д \(x\in(\dfrac\pi3+\pi k;\dfrac{2\pi}{3}+\pi k),\ k\in\mathbb Z\)

Lösung

\(\cos^2x\le\dfrac14\) ist äquivalent zu \(|\cos x|\le\dfrac12\). Mit der Periode \(\pi\) gilt \(x\in[\dfrac\pi3+\pi k;\dfrac{2\pi}{3}+\pi k]\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

7

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \((2\sin x-3)\tan x\ge0\).

А \(x\in(-\dfrac\pi2+2\pi n;2\pi n],\ n\in\mathbb Z\) Б \(x\in[\pi n;\dfrac\pi2+\pi n),\ n\in\mathbb Z\) В \(x\in(-\dfrac\pi2+\pi n;\pi n],\ n\in\mathbb Z\) Г \(\varnothing\) Д \(x\in[-\dfrac\pi2+\pi n;\pi n),\ n\in\mathbb Z\)

Lösung

Da \(2\sin x-3\lt0\) für alle \(x\) gilt, ist das Produkt genau dann nichtnegativ, wenn \(\tan x\le0\). Somit \(x\in(-\dfrac\pi2+\pi n;\pi n]\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

8

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\sin x\lt\cos x\).

А \(x\in(-\dfrac\pi4+2\pi n;\dfrac\pi4+2\pi n),\ n\in\mathbb Z\) Б \(x\in(-\dfrac{3\pi}4+\pi n;\dfrac\pi4+\pi n),\ n\in\mathbb Z\) В \(x\in(-\dfrac{3\pi}4+2\pi n;\dfrac\pi4+2\pi n),\ n\in\mathbb Z\) Г \(x\in(-\pi+2\pi n;2\pi n),\ n\in\mathbb Z\) Д \(x\in(\dfrac\pi4+2\pi n;\dfrac{5\pi}4+2\pi n),\ n\in\mathbb Z\)

Lösung

\(\sin x-\cos x=\sqrt2\sin(x-\dfrac\pi4)\). Daher muss \(\sin(x-\dfrac\pi4)\lt0\) gelten. Somit \(x\in(-\dfrac{3\pi}4+2\pi n;\dfrac\pi4+2\pi n)\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

9

Aufgabe Zuordnung

Ordnen Sie den Ungleichungen (1–4) ihre jeweils größte Lösung im Intervall \([0;2\pi]\) (A–E) zu.

А \(\dfrac{5\pi}{6}\) Б \(\dfrac{3\pi}{4}\) В \(2\pi\) Г \(\dfrac{7\pi}{4}\) Д \(\dfrac{4\pi}{3}\)

1. \(\cos x\le-\dfrac12\) 2. \(\sin x\ge\dfrac12\) 3. \(\mathrm{tg}\,x\le1\) 4. \(\mathrm{ctg}\,x\ge-1\)

Lösung

1) größte Lösung \(4\pi/3\) — E. 2) \(5\pi/6\) — A. 3) \(2\pi\) — C. 4) \(7\pi/4\) — D. Somit: **1–E, 2–A, 3–C, 4–D**.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

10

Aufgabe Zuordnung

Ordnen Sie den Ungleichungen (1–4) ihre jeweils kleinste Lösung im Intervall \([0;\pi]\) (A–E) zu.

А \(\dfrac\pi8\) Б \(\dfrac\pi2\) В \(\dfrac\pi4\) Г \(0\) Д \(\pi\)

1. \(\cos^2x-\sin^2x\lt2\) 2. \(\sin2x\ge1\) 3. \(\mathrm{ctg}\,2x\le1\) 4. \(\mathrm{tg}\,\dfrac x2\ge1\)

Lösung

1) kleinste Lösung \(0\) — D. 2) \(\pi/4\) — C. 3) \(\pi/8\) — A. 4) \(\pi/2\) — B. Somit: **1–D, 2–C, 3–A, 4–B**.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

Trigonometrische Ungleichungen