Тема 18 — завдання

1

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть рівняння \(\mathrm{tg}(3x)=\sqrt3\).

А \(x=\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=\dfrac\pi9+\dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\dfrac\pi9+\dfrac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=\dfrac\pi9+\pi n,\ n\in\mathbb Z\)

Розв’язання

Для рівняння \(\mathrm{tg}\,t=\sqrt3\) маємо \(t=\dfrac\pi3+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\). Тому \(3x=\dfrac\pi3+\pi n\), звідки \(x=\dfrac\pi9+\dfrac{\pi n}{3}\). Відповідь: В.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

2

Завдання Одна правильна відповідь

Яке з наведених рівнянь не має коренів?

А \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) Б \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) В \(\mathrm{ctg}\,x=-\dfrac2{\sqrt3}\) Г \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac2{\sqrt3}\) Д \(\cos x=\dfrac2{\sqrt3}\)

Розв’язання

Рівняння \(\sin x=a\) і \(\cos x=a\) мають дійсні корені лише при \(|a|\le1\). Для тангенса й котангенса допустиме будь-яке дійсне значення правої частини. Оскільки \(\dfrac2{\sqrt3}\gt1\), рівняння \(\cos x=\dfrac2{\sqrt3}\) не має коренів. Відповідь: Д.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

3

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть рівняння \(3\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=\sqrt3\).

А \(x=\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=\dfrac\pi6+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\pm\dfrac\pi6+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=\dfrac\pi9+\dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z\)

Розв’язання

Оскільки \(\dfrac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}\,x\), маємо \(3\mathrm{tg}\,x=\sqrt3\), тобто \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}{3}\). Тому \(x=\dfrac\pi6+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\). Відповідь: А.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

4

Завдання Одна правильна відповідь

Укажіть найменший додатний корінь рівняння \(\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=0\).

А \(\dfrac\pi6\) Б \(\dfrac\pi2\) В \(\dfrac{2\pi}{3}\) Г \(\pi\) Д \(\dfrac{5\pi}{3}\)

Розв’язання

\(\sin t=0\) при \(t=\pi n\), \(n\in\mathbb Z\). Тому \(x+\dfrac\pi3=\pi n\), звідки \(x=-\dfrac\pi3+\pi n\). При \(n=1\) дістаємо найменший додатний корінь \(x=\dfrac{2\pi}{3}\). Відповідь: В.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

5

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть рівняння \(2\sin x=1\).

А \(x=\pm\dfrac\pi6+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=(-1)^n\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=(-1)^n\dfrac\pi6+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\)

Розв’язання

Маємо \(\sin x=\dfrac12\). Загальна формула розв’язків рівняння \(\sin x=a\): \(x=(-1)^n\arcsin a+\pi n\). Оскільки \(\arcsin\dfrac12=\dfrac\pi6\), отримуємо \(x=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\). Відповідь: Д.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

6

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть рівняння \(\mathrm{tg}\dfrac x2=\sqrt3\).

А \(x=\dfrac\pi6\) Б \(x=\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д інша відповідь

Розв’язання

Для \(\mathrm{tg}\,t=\sqrt3\) маємо \(t=\dfrac\pi3+\pi n\). Тому \(\dfrac x2=\dfrac\pi3+\pi n\), звідки \(x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\). Відповідь: Г.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

7

Завдання Одна правильна відповідь

Якщо \(2\cos a-5\sin a=0\), то \(\mathrm{tg}\,a=\)

А \(\dfrac25\) Б \(-\dfrac25\) В \(-3\) Г \(-\dfrac52\) Д \(\dfrac52\)

Розв’язання

Із \(2\cos a-5\sin a=0\) маємо \(2\cos a=5\sin a\). Значення \(\cos a=0\) не може задовольняти початкове рівняння, тому ділимо на \(5\cos a\): \(\dfrac{\sin a}{\cos a}=\dfrac25\). Отже, \(\mathrm{tg}\,a=\dfrac25\). Відповідь: А.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

8

Завдання Одна правильна відповідь

Знайдіть найменший додатний корінь рівняння \(2\sin x=-1\).

А \(\dfrac\pi6\) Б \(\dfrac\pi3\) В \(\dfrac{5\pi}{6}\) Г \(\dfrac{5\pi}{3}\) Д \(\dfrac{7\pi}{6}\)

Розв’язання

Маємо \(\sin x=-\dfrac12\). У проміжку \((0;2\pi)\) синус дорівнює \(-\dfrac12\) при \(x=\dfrac{7\pi}{6}\) і \(x=\dfrac{11\pi}{6}\). Найменший додатний корінь — \(\dfrac{7\pi}{6}\). Відповідь: Д.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

9

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть рівняння \(\cos(3x)=\dfrac12\).

А \(x=\pm\dfrac\pi9+\dfrac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z\) Б \(x=(-1)^k\pi+3\pi k,\ k\in\mathbb Z\) В \(x=\pm\pi+6\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Г \(x=(-1)^k\dfrac\pi9+\dfrac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z\) Д \(x=\pm\dfrac\pi9+\dfrac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z\)

Розв’язання

Для рівняння \(\cos t=\dfrac12\) маємо \(t=\pm\dfrac\pi3+2\pi k\). Тому \(3x=\pm\dfrac\pi3+2\pi k\), звідки \(x=\pm\dfrac\pi9+\dfrac{2\pi k}{3}\), \(k\in\mathbb Z\). Відповідь: А.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

10

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть рівняння \(\sin x-\sqrt3\cos x=0\).

А \(x=-\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=-\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=\dfrac\pi2+\pi n,\ n\in\mathbb Z\)

Розв’язання

Перенесемо: \(\sin x=\sqrt3\cos x\). Значення \(\cos x=0\) не задовольняє початкове рівняння, тому ділимо на \(\cos x\): \(\mathrm{tg}\,x=\sqrt3\). Звідси \(x=\dfrac\pi3+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\). Відповідь: Г.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

11

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть рівняння \(\mathrm{tg}\left(5x+\dfrac\pi4\right)=\sqrt3\).

А \(x=\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Б \(x=\dfrac\pi{60}+\dfrac{\pi k}{5},\ k\in\mathbb Z\) В \(x=-\dfrac\pi{60}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Г \(x=\dfrac\pi{12}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Д \(x=\dfrac\pi4+3\pi k,\ k\in\mathbb Z\)

Розв’язання

Для \(\mathrm{tg}\,t=\sqrt3\) маємо \(t=\dfrac\pi3+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\). Тому \(5x+\dfrac\pi4=\dfrac\pi3+\pi k\). Звідси \(5x=\dfrac\pi{12}+\pi k\), отже \(x=\dfrac\pi{60}+\dfrac{\pi k}{5}\). Відповідь: Б.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

12

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть рівняння \(\cos2x=-\dfrac12\).

А \(x=(-1)^n\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Б \(x=\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\) В \(x=-\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Г \(x=\pm\dfrac\pi3+\pi n,\ n\in\mathbb Z\) Д \(x=\pm\dfrac\pi6+\pi n,\ n\in\mathbb Z\)

Розв’язання

Для \(\cos t=-\dfrac12\) маємо \(t=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\). Тому \(2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\), звідки \(x=\pm\dfrac\pi3+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\). Відповідь: Г.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

13

Завдання Одна правильна відповідь

Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння \(\cos3x=1\).

А \(-\dfrac\pi3\) Б \(-\pi\) В \(-\dfrac{2\pi}{3}\) Г \(\dfrac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb Z\) Д \(-\dfrac\pi2\)

Розв’язання

\(\cos t=1\) при \(t=2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\). Тому \(3x=2\pi k\), звідки \(x=\dfrac{2\pi k}{3}\). Найбільший від’ємний корінь отримуємо при \(k=-1\): \(x=-\dfrac{2\pi}{3}\). Відповідь: В.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

14

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть рівняння \(2\sin^2x+\cos x-1=0\).

А \(x=2\pi k;\ x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Б \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z\) В \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Г \(x=2\pi k;\ x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\) Д \(x=2\pi k;\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\)

Розв’язання

Скористаємося \(\sin^2x=1-\cos^2x\): \(2(1-\cos^2x)+\cos x-1=0\). Маємо \(2\cos^2x-\cos x-1=0\), тобто \((2\cos x+1)(\cos x-1)=0\). Отже, \(\cos x=1\) або \(\cos x=-\dfrac12\). Звідси \(x=2\pi k\) або \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\). Відповідь: Г.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

15

Завдання Числова відповідь

Знайдіть найбільше значення параметра \(a\), при якому система рівнянь \[\begin{cases}(2a-1)\sin x+\cos x=2,\\a\sin x+(2a-1)\cos x=a+1\end{cases}\] має безліч розв’язків.

Ваша відповідь

Розв’язання

Позначимо \(u=\cos x\), \(v=\sin x\). Тоді \(u^2+v^2=1\), а система стає лінійною відносно \(u,v\). При \(a=1\) вона несумісна. Для \(a\ne1\) із системи одержуємо \[v=\frac3{4a-1},\qquad u=\frac{2a+1}{4a-1}.\] Щоб існував кут \(x\), необхідно \(u^2+v^2=1\): \[\left(\frac{2a+1}{4a-1}\right)^2+\left(\frac3{4a-1}\right)^2=1.\] Після спрощення \(4a^2-4a-3=0\), звідки \(a=1{,}5\) або \(a=-0{,}5\). Для кожного такого значення отримуємо допустиму пару \((\cos x;\sin x)\), а отже нескінченну періодичну множину значень \(x\). Найбільше значення параметра — \(1{,}5\).

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

16

Завдання Числова відповідь

Знайдіть найменше значення \(a\), при якому має розв’язки рівняння \[\frac12(\sin x+\sqrt3\cos x)=6-5a-2a^2.\]

Ваша відповідь

Розв’язання

Ліву частину зведемо до синуса допоміжного кута: \[\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x=\sin\left(x+\frac\pi3\right).\] Тому рівняння має розв’язки тоді й лише тоді, коли \[|6-5a-2a^2|\le1.\] Це рівносильно системі \[\begin{cases}2a^2+5a-5\ge0,\\2a^2+5a-7\le0.\end{cases}\] Її розв’язок: \[a\in\left[-3{,}5;\frac{-5-\sqrt{65}}4\right]\cup\left[\frac{-5+\sqrt{65}}4;1\right].\] Найменше значення параметра: \(-3{,}5\).

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

17

Завдання Числова відповідь

Розв’яжіть систему \[\begin{cases}5\cos\dfrac{\pi xy}{2}=x^2-8x+21,\\y+5x-4=0.\end{cases}\] Якщо система має єдиний розв’язок \((x_0;y_0)\), у відповідь запишіть суму \(x_0+y_0\); якщо розв’язків більше одного — їх кількість.

Ваша відповідь

Розв’язання

Оцінимо обидві частини першого рівняння. Маємо \(-5\le5\cos\dfrac{\pi xy}{2}\le5\), а \[x^2-8x+21=(x-4)^2+5\ge5.\] Рівність можлива лише тоді, коли обидві частини дорівнюють \(5\). Звідси \(x=4\) і \(\cos\dfrac{\pi xy}{2}=1\). Із другого рівняння \(y+20-4=0\), тому \(y=-16\). Перевірка: \(\cos(-32\pi)=1\). Отже, система має єдиний розв’язок \((4;-16)\), а \(x_0+y_0=-12\).

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

18

Завдання Числова відповідь

Розв’яжіть рівняння \[\frac{2\cos x+1}{\sqrt{27+6x-x^2}}=0.\] У відповідь запишіть кількість усіх його коренів. Якщо рівняння має безліч коренів, запишіть \(100\).

Ваша відповідь

Розв’язання

Оскільки корінь стоїть у знаменнику, потрібно \(27+6x-x^2\gt0\). Маємо \(x^2-6x-27\lt0\), звідки \(x\in(-3;9)\). Дріб дорівнює нулю, коли \(2\cos x+1=0\), тобто \(\cos x=-\dfrac12\). Загальні розв’язки: \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\). У проміжок \((-3;9)\) потрапляють чотири значення: \(-\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{8\pi}{3}\). Отже, коренів \(4\).

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

19

Завдання Одна правильна відповідь

Скільки всього коренів рівняння \(\cos x=0\) належать проміжку \([0;2\pi]\)?

А жодного Б один В два Г три Д більше ніж три

Розв’язання

\(\cos x=0\) при \(x=\dfrac\pi2+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\). На проміжку \([0;2\pi]\) лежать два корені: \(\dfrac\pi2\) і \(\dfrac{3\pi}{2}\). Отже, коренів два. Відповідь: В.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

20

Завдання Одна правильна відповідь

Укажіть корінь рівняння \(\sin4x=-1\).

А \(\dfrac{3\pi}{8}\) Б \(\dfrac\pi8\) В \(\dfrac\pi4\) Г \(-\dfrac\pi4\) Д \(-\dfrac\pi2\)

Розв’язання

\(\sin t=-1\) при \(t=-\dfrac\pi2+2\pi n\). Тому \(4x=-\dfrac\pi2+2\pi n\), звідки \(x=-\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{2}\). При \(n=1\) маємо \(x=\dfrac{3\pi}{8}\), що є серед запропонованих варіантів. Відповідь: А.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

Тригонометричні рівняння