Ірраціональні нерівності

Функція \(g(x)=\sqrt{9-x^2}\) визначена на \([-3;3]\). На графіку пряма \(f(x)=x+3\) лежить не нижче півкола \(g(x)\) у точці \(x=-3\) та на відрізку \([0;3]\). Отже, \(x\in\{-3\}\cup[0;3]\). Відповідь: А.

Для кореня парного степеня потрібно \(50-3x\ge0\). Звідси \(x\le\dfrac{50}{3}=16\dfrac23\). Найбільше ціле двоцифрове число з цієї області — \(16\).

Ліва частина завжди невід’ємна, тому нерівність автоматично виконується для всіх допустимих \(x\). ОДЗ: \(2x+3\ge0\), тобто \(x\ge-1{,}5\). Отже, \(x\in[-1{,}5;+\infty)\). Відповідь: Д.

Функція \(t\mapsto t^3\) зростає, тому можна піднести обидві частини до куба: \(x^3-2x\gt(x+2)^3\). Після спрощення: \(3x^2+7x+4\lt0\), тобто \((3x+4)(x+1)\lt0\). Отже, \(x\in\left(-\dfrac43;-1\right)\). Цілих чисел у цьому проміжку немає. Відповідь: Б.

ОДЗ: \(9x-20\ge0\), тобто \(x\ge\dfrac{20}{9}\). На ОДЗ права частина додатна, тому підносимо до квадрата: \(9x-20\lt x^2\), або \((x-4)(x-5)\gt0\). Звідси \(x\lt4\) або \(x\gt5\). З урахуванням ОДЗ: \(x\in\left[\dfrac{20}{9};4\right)\cup(5;+\infty)\). Відповідь: Б.

\(\sqrt{(x^2-5x+6)^2}=|x^2-5x+6|\). Розглянемо знак \((x-2)(x-3)\). Для \(x\le2\) або \(x\ge3\) маємо \(x^2-5x+6\ge0\), і нерівність зводиться до \((x-2)^2\gt0\), тобто \(x\ne2\). Для \(2\lt x\lt3\) після розкриття модуля отримуємо \((x-2)(x-4)\lt0\), що виконується на всьому \((2;3)\). Отже, розв’язок: \((-\infty;2)\cup(2;+\infty)\). Відповідь: Г.

Спочатку ОДЗ: \((x-4)(x+1)\ge0\) і \((x-2)(x-3)\ge0\). Перетин дає \(x\in(-\infty;-1]\cup[4;+\infty)\). На ОДЗ обидві частини невід’ємні, тому квадратуємо: \(x^2-3x-4\lt x^2-5x+6\), звідки \(x\lt5\). Перетин: \((-\infty;-1]\cup[4;5)\). Відповідь: Б.

Для чисельника потрібно \(x-3\ge0\), тобто \(x\ge3\). Оскільки корінь стоїть у знаменнику, потрібно строго \(1-5x\gt0\), тобто \(x\lt0{,}2\). Ці умови несумісні, тому ОДЗ порожня. Отже, нерівність не має розв’язків: \(\varnothing\).

ОДЗ: \(x\ge1\). Перенесемо: \(\sqrt[3]{2-x}\gt1-\sqrt{x-1}\). Кубічна функція зростає, тому кубуємо обидві частини. Нехай \(t=\sqrt{x-1}\ge0\). Тоді після спрощення отримуємо \(t(t-1)(t-3)\gt0\). Звідси \(0\lt t\lt1\) або \(t\gt3\). Повертаючись до \(x\): \(1\lt x\lt2\) або \(x\gt10\). Найменший цілий розв’язок — \(11\).

ОДЗ: \(16-x^2\ge0\), тобто \(x\in[-4;4]\). На ОДЗ корінь невід’ємний. Добуток не додатний, якщо \(x-2\le0\), тобто \(x\le2\), або якщо \(\sqrt{16-x^2}=0\), що дає \(x=\pm4\). Отже, \(x\in[-4;2]\cup\{4\}\). Цілі розв’язки: \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,4\), усього \(8\).