Показникові рівняння

Із другого рівняння \(2^x=15+y\). Підставляємо в перше: \(3y+15+y=-13\), тому \(4y=-28\) і \(y=-7\). Тоді \(2^x=8\), отже \(x=3\). Маємо \(x_0+y_0=3-7=-4\). Відповідь: А.

\(\dfrac1{27}=3^{-3}\), тому \(3^x=3^{-3}\) і \(x=-3\). Число \(-3\) належить проміжку \((-5;-2]\). Відповідь: Б.

Оскільки \(3^3=27\lt30\lt81=3^4\), а функція \(3^x\) зростає, то \(3\lt x\lt4\). Відповідь: В.

\(3^x\cdot4^x=12^x\), а \((12^{x+1})^5=12^{5x+5}\). Тому \(12^x=12^{5x+5}\), звідки \(x=5x+5\). Отже, \(x=-\dfrac54=-1{,}25\).

Із першого рівняння \(x-2y=-1\), тобто \(2y=x+1\). Тоді \(3^{2y}=3^{x+1}=3\cdot3^x\). Друге рівняння дає \(4\cdot3^x=4\sqrt3\), отже \(3^x=3^{1/2}\) і \(x=\dfrac12\). Тоді \(y=\dfrac{x+1}{2}=\dfrac34\). Добуток \(x_0y_0=\dfrac38=0{,}375\).

\(16^{-1}=(4^2)^{-1}=4^{-2}\), тому \(x=-2\). Із \(x+y=5\) маємо \(y=7\). Отже, \(x_0y_0=-14\). Відповідь: Б.

\(125=5^3\), тому \(x+1=3\) і \(x=2\). Число \(2\) належить проміжку \([0;3)\). Відповідь: А.

\(27=3^3\), тому \(x+4=3\) і \(x=-1\). Число \(-1\) належить проміжку \([-2;0)\). Відповідь: Б.

ОДЗ: \(5x+18\ge0\), тобто \(x\ge-3{,}6\). Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один множник дорівнює нулю. З першого: \(3^{2x^2-29}=27=3^3\), тому \(2x^2=32\) і \(x=\pm4\). Із них ОДЗ задовольняє лише \(x=4\). Другий множник дорівнює нулю при \(5x+18=0\), тобто \(x=-3{,}6\). Сума коренів: \(4-3{,}6=0{,}4\). Відповідь: А.

\(4=2^2\), \(8=2^3\). Тому \((2^2)^x=2^3\), тобто \(2x=3\). Отже, \(x=\dfrac32\). Відповідь: В.

\(\dfrac18=2^{-3}\), тому \(2^x=2^{-3}\) і \(x=-3\). Число \(-3\) належить проміжку \((-4;-2]\). Відповідь: Б.

\(\dfrac1{125}=5^{-3}\), тому \(5^{x+3}=5^{-3x}\). Звідси \(x+3=-3x\), \(4x=-3\), \(x=-\dfrac34=-0{,}75\). Отже, \(x\in(-1;0]\). Відповідь: В.

\(3^x\cdot4^x=12^x\), а \(144=12^2\), тому \(\dfrac1{144}=12^{-2}\). Отже, \(12^x=12^{-2}\), звідки \(x=-2\). Він належить \([-5;-1)\). Відповідь: Б.

\(\sqrt[3]{8^x}=\sqrt[3]{2^{3x}}=2^x\). Права частина: \(2^{1/2}\cdot2^{1/3}=2^{5/6}\). Тому \(2^x=2^{5/6}\), звідки \(x=\dfrac56\). Відповідь: Г.

\(\dfrac{2\sqrt3}{6}=\dfrac{\sqrt3}{3}=3^{1/2-1}=3^{-1/2}\). Отже, \(3^x=3^{-1/2}\), тому \(x=-\dfrac12=-0{,}5\). Відповідь: В.

\(\dfrac1{2^3}=2^{-3}\). Тому \(2^{2x}=2^{-3}\), звідки \(2x=-3\) і \(x=-\dfrac32=-1{,}5\). Відповідь: В.

Винесемо \(2^x\): \(2^x(8-3)=10\sqrt2\). Маємо \(5\cdot2^x=10\sqrt2\), звідки \(2^x=2\sqrt2=2^{3/2}\). Отже, \(x=\dfrac32=1{,}5\), тому \(x\in[1;2)\). Відповідь: Г.

\(25=5^2\), тому \(5^{x-2}=5^2\). Маємо \(x-2=2\), звідки \(x=4\). Відповідь: Б.

\(9=3^2\), тому \(3^{7x}=3^2\) і \(7x=2\). Отже, \(x=\dfrac27\approx0{,}2857\). До десятих: \(0{,}3\). Відповідь: В.

Позначимо \(t=2^x\), де \(t\gt0\). Тоді \(4^x=t^2\), і рівняння набуває вигляду \(3t^2+(3x-10)t+3-x=0\). Групуємо доданки: \(3t^2+3xt-10t+3-x=0\). Ліва частина розкладається на множники: \((3t-1)(t+x-3)=0\). Повертаємося до \(t=2^x\). Маємо два рівняння: \(3\cdot2^x-1=0\) або \(2^x+x-3=0\). З першого \(2^x=\dfrac13\), тому \(x=\log_2\dfrac13=-\log_2 3\). У другому рівнянні ліва частина \(2^x+x\) строго зростає, тому корінь єдиний; перевірка дає \(x=1\), бо \(2^1+1-3=0\). Отже, корені: \(-\log_2 3\) і \(1\). Більший корінь — \(1\).

Подамо \(9\) як степінь з тією самою основою: \(9=3^2=\left(\dfrac13\right)^{-2}\). Тоді \(2x-1=-2\), звідки \(2x=-1\) і \(x=-\dfrac12\). Отже, \(x\in(-1;0]\). Відповідь: Б.

Винесемо \(5^x\): \(5^x\left(\dfrac{12}{5}+3-5\right)=10\). У дужках маємо \(\dfrac25\), тому \(\dfrac25\cdot5^x=10\). Звідси \(5^x=25=5^2\), отже \(x=2\).

\(0{,}2=\dfrac15=5^{-1}\), а \(\sqrt{125}=\sqrt{5^3}=5^{3/2}\). Тому \(5^{-3x+1}=5^{3/2}\). Маємо \(-3x+1=\dfrac32\), звідки \(x=-\dfrac16\). Відповідь: Г.

Позначимо \(t=2^x\), де \(t\gt0\). Тоді \(4^{x-1}=\dfrac{t^2}{4}\), а \(1{,}5\cdot2^{x+2}=6t\). Маємо \(\dfrac{t^2}{4}-6t+20=0\), або \(t^2-24t+80=0\). Звідси \(t_1=4\), \(t_2=20\). Повертаємося до \(x\): \(2^x=4\Rightarrow x=2\); \(2^x=20\Rightarrow x=\log_2 20\). Відповідь: В.

Запишемо \(4^x=2^{2x}\), \(6^x=2^x3^x\), \(9^x=3^{2x}\) і поділимо рівняння на \(3^{2x}\ne0\): \(3\left(\dfrac23\right)^{2x}-5\left(\dfrac23\right)^x+2=0\). Позначимо \(t=\left(\dfrac23\right)^x\gt0\). Тоді \(3t^2-5t+2=0\), звідки \(t=1\) або \(t=\dfrac23\). Отже, \(x=0\) або \(x=1\). Відповідь: Д.

Помножимо обидві частини на \(2^{3x+1}\): \(7^{x+1}2^{3x+1}=14\). Оскільки \(7^{x+1}2^{3x+1}=14\cdot56^x\), маємо \(14\cdot56^x=14\). Тому \(56^x=1\), звідки \(x=0\). Відповідь: В.

ОДЗ: \(x\ne0\). Маємо \(\dfrac{x+4}{x}=1+\dfrac4x\), тому \(5^{\frac{x+4}{x}}=5\left(5^{\frac2x}\right)^2\). Позначимо \(t=5^{\frac2x}\gt0\). Отримаємо \(5t^2-124t-25=0\). Корені: \(t_1=-\dfrac15\) і \(t_2=25\). Перший не підходить, бо \(t\gt0\). Отже, \(5^{\frac2x}=25=5^2\), звідки \(\dfrac2x=2\) і \(x=1\). Відповідь: А.

Поділимо обидві частини на \(5^{x-1}\ne0\): \(\left(\dfrac25\right)^{x-1}=1=\left(\dfrac25\right)^0\). Оскільки основа додатна і не дорівнює \(1\), маємо \(x-1=0\). Отже, \(x=1\).

Оцінимо обидві частини. Оскільки \(0\le\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)\le1\), то \(1\le2^{\sin^2(\cdots)}\le2\). Праву частину перепишемо: \((x-a)^2-6(x-a)+13=(x-a-3)^2+4\ge4\), тому \(0\lt\dfrac4{(x-a-3)^2+4}\le1\). Отже, рівність можлива лише тоді, коли обидві частини дорівнюють \(1\). Маємо систему \(\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)=0\) і \(x-a-3=0\). Перша умова дає \(2\pi x+\frac{5\pi}{4}=\pi n\), \(n\in\mathbb Z\), тобто \(x=\dfrac n2-\dfrac58\). Потрібен додатний корінь: \(\dfrac n2-\dfrac58\gt0\), звідки \(n\gt\dfrac54\). Найменше ціле \(n=2\), тому \(x=\dfrac38\). Із \(x=a+3\) отримуємо \(a=\dfrac38-3=-\dfrac{21}{8}=-2{,}625\).

**1. Випадок \(a=0\).** Перше рівняння дає \(3^{2+y^2}=27=3^3\), тому \(y^2=1\) і \(y=\pm1\). Із другого рівняння \(x+3^{1+y^2}=8\), тобто \(x+9=8\), звідки \(x=-1\). Отже, розв’язки: \((-1;1)\) і \((-1;-1)\). **2. Довільне \(a\).** Із другого рівняння \(3^{1+y^2}=8-x\), а \(3^{2+y^2}=3(8-x)\). Підставляємо в перше: \(ax^2+ax+3(8-x)=27\), звідки \(ax^2+x(a-3)-3=0\). Дискримінант \(D=(a-3)^2+12a=(a+3)^2\). При \(a\ne0\) корені квадратного рівняння: \(x_1=\dfrac3a\) і \(x_2=-1\). Для \(x_2=-1\): \(3^{y^2}=\dfrac{8-(-1)}3=3\), тому \(y^2=1\) і \(y=\pm1\). Отже, \((-1;1)\) і \((-1;-1)\) є розв’язками при всіх \(a\). Для \(x_1=\dfrac3a\): \[3^{y^2}=\frac{8-3/a}{3}=\frac{8a-3}{3a},\qquad y^2=\log_3\frac{8a-3}{3a}.\] Щоб існували дійсні \(y\), потрібно \(y^2\ge0\), тобто \(3^{y^2}\ge1\). Тому \(\dfrac{8a-3}{3a}\ge1\), або \(\dfrac{5a-3}{3a}\ge0\). Метод інтервалів дає \(a\in(-\infty;0)\cup[0{,}6;+\infty)\). Отже, якщо \(a\in[0;0{,}6)\), система має лише \((-1;1)\), \((-1;-1)\). Якщо \(a\in(-\infty;0)\cup[0{,}6;+\infty)\), до них додаються \[\left(\frac3a;\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right),\qquad \left(\frac3a;-\sqrt{\log_3\frac{8a-3}{3a}}\right),\] з урахуванням того, що при окремих значеннях параметра ці точки можуть збігатися між собою або з уже знайденими розв’язками.