Піфагорійська кома
Дванадцять чистих квінт майже дорівнюють семи октавам, але не точно. Різницю можна вивести чисто математично.
Означення
\[
\frac{(3/2)^{12}}{2^7}
\]
Піфагорійська кома — це різниця між результатом 12 чистих квінт 3/2 і 7 октав 2:1.
Незамикання квінтового ланцюга
12 квінт ≠ 7 октав
≠
Відношення двох результатів
Математичне виведення
1
\[\frac{(3/2)^{12}}{2^7}\]
→
2
\[\frac{3^{12}}{2^{19}}\]
→
3
\[\frac{531441}{524288}\]
→
4
\[\approx1.013643\]
У cents
\[C=1200\log_2\!\left(\frac{531441}{524288}\right)\]
Піфагорійська кома
\[\boxed{C\approx23.460\text{¢}}\]
Опис математична невідповідність
Якби дванадцять чистих квінт точно замикалися в сім октав, мало б виконуватися (3/2)^12 = 2^7. Але ці величини не рівні.
Їхнє відношення дорівнює 531441/524288 ≈ 1.013643. Це невелике, але принципове незамикання натурального квінтового ланцюга.
У cents ця різниця становить приблизно 23.460¢. У 12-TET квінту трохи звужують так, щоб після 12 однакових кроків система точно замкнулася в сім октав.