Геометрична прогресія

Октава показує базову логіку темперації: від 1 до 2 ми проходимо 12 однаковими множеннями.

Одна октава Від 1 до 2

12 однакових кроків 12-TET і натуральні дробові відповідники

12-TET один сталий множник r

r²2

r³3

r⁴4

r⁵5

r⁶6

r⁷7

r⁸8

r⁹9

r¹⁰10

r¹¹11

212

Natural різні прості дроби

1/1 16/15 9/8 6/5 5/4 4/3 45/32 3/2 8/5 5/3 9/5 15/8 2/1

Октава \(2\)

→

12 однакових множень \(r^{12}=2\)

→

Один крок 12-TET \(r=\sqrt[12]{2}=2^{1/12}\)

Формули Геометрична прогресія 12-TET

Множник одного півтону \[r=2^{1/12}\approx1.059463\]

Частота після n кроків \[f_n=f_0\cdot r^n=f_0\cdot2^{n/12}\]

Через 12 кроків \[f_{12}=f_0\cdot2^{12/12}=2f_0\]

Опис базова логіка темперації

Октава означає подвоєння частоти: від f₀ до 2f₀. Щоб пройти цю відстань за 12 однакових музичних кроків, кожний крок повинен множити частоту на один і той самий коефіцієнт r.

Після 12 однакових множень маємо отримати 2, тому r¹² = 2. Звідси r = ²√2 = 2¹⁄¹². Саме цей сталий множник утворює геометричну прогресію 12-TET.

У натуральному строї відповідні інтервали задаються не одним спільним множником між усіма сусідніми ступенями, а різними простими дробами. На спільній октавній шкалі видно, що ці дроби близькі до кроків 12-TET, але не тотожні їм.