Чому 12

Число 12 виникає тому, що 12 чистих квінт дають дуже близьке наближення до 7 октав.

Умова наближення Квінти й октави

Шукаємо цілі n і m \[ \left(\frac32\right)^n\approx2^m \]

→

Беремо логарифм за основою 2 \[ n\log_2\frac32\approx m \]

→

Отримуємо раціональне наближення \[ \log_2\frac32\approx\frac mn \]

Малі цілі числа Наближення квінти

Точне значення \[ \log_2\frac32\approx0.5849625 \]

\(\frac12\) 0.500000 2 квінти ≈ 1 октава Δ ≈ 203.910¢

\(\frac35\) 0.600000 5 квінт ≈ 3 октави Δ ≈ 90.225¢

\(\frac7{12}\) 0.583333 12 квінт ≈ 7 октав Δ ≈ 23.460¢

Найкраще мале наближення \[ \log_2\frac32\approx\frac7{12} \]

⇔

Еквівалентна форма \[ \left(\frac32\right)^{12}\approx2^7 \]

Відхилення на одну квінту \[ 1200\left(\log_2\frac32-\frac7{12}\right) \approx1.955\text{¢} \] Після 12 квінт: 12 · 1.955¢ ≈ 23.460¢ — та сама піфагорійська кома.

Опис математична причина числа 12

Щоб квінтовий ланцюг майже повернувся до тієї самої ноти через ціле число октав, потрібно знайти цілі n і m, для яких (3/2)^n близьке до 2^m.

Після логарифмування задача зводиться до наближення числа log₂(3/2) звичайним дробом m/n. Для малих знаменників дріб 7/12 виявляється особливо точним.

Тому 12 квінт майже збігаються з 7 октавами. Саме ця властивість робить число 12 природною основою для 12-ступеневої системи; залишкова похибка вже відома нам як піфагорійська кома.